Hur man ritar en fyrkantig graf: 10 steg (med bilder)

2024 Författare: Jason Gerald | [email protected]. Senast ändrad: 2024-02-01 14:15

När den representeras grafiskt har den kvadratiska ekvationen formen yxa² + bx + c eller a (x - h)² + k bilda bokstaven U eller en inverterad U -kurva som kallas en parabel. Att rita en kvadratisk ekvation söker efter toppunktet, riktningen och ofta skärningspunkten x och y. I fall av ganska enkla kvadratiska ekvationer kan det vara tillräckligt att ange en uppsättning x -värden och rita kurvan baserat på de resulterande punkterna. Se steg 1 nedan för att komma igång.

Steg

Steg 1. Bestäm formen på den kvadratiska ekvationen du har

Kvadratiska ekvationer kan skrivas i tre olika former: allmän form, hörnform och kvadratisk form. Du kan använda valfri form för att rita en kvadratisk ekvation; processen att avbilda varje graf är något annorlunda. Om du gör läxor får du vanligtvis frågor i en av dessa två former - med andra ord kommer du inte att kunna välja, så det är bäst att förstå båda. De två formerna av den kvadratiska ekvationen är:

• Allmän form.

  I denna form skrivs den kvadratiska ekvationen som: f (x) = ax² + bx + c där a, b och c är reella tal och a inte är noll.

  Till exempel är två kvadratiska ekvationer av allmän form f (x) = x² + 2x + 1 och f (x) = 9x² + 10x -8.

• Toppform.

  I denna form skrivs den kvadratiska ekvationen som: f (x) = a (x - h)² + k där a, h och k är riktiga tal och a inte är noll. Det kallas vertex -formen eftersom h och k omedelbart kommer att ge punkten (mittpunkten) på din parabel vid punkten (h, k).

  De två toppformsekvationerna är f (x) = 9 (x - 4)² + 18 och -3 (x - 5)² + 1

• För att rita någon typ av ekvation måste vi först hitta hörnet för parabeln, som är mittpunkten (h, k) i slutet av kurvan. Koordinaterna för topparna i den allmänna formen beräknas som: h = -b/2a och k = f (h), medan i toppformen är h och k i ekvationen.

Steg 2. Definiera dina variabler

För att lösa ett kvadratiskt problem måste variablerna a, b och c (eller a, h och k) vanligtvis definieras. Ett vanligt algebraproblem ger en kvadratisk ekvation med tillgängliga variabler, vanligtvis i allmän form, men ibland i toppform.

• Till exempel, för en ekvation med allmän form f (x) = 2x² + 16x + 39, vi har a = 2, b = 16 och c = 39.
• För toppformsekvationen f (x) = 4 (x - 5)² + 12, vi har a = 4, h = 5 och k = 12.

Steg 3. Beräkna h

I toppformsekvationen är ditt h -värde redan angivet, men i den allmänna formekvationen måste h -värdet beräknas. Kom ihåg att för ekvationer av allmän form, h = -b/2a.

• I vårt allmänna exempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Efter lösning finner vi att h = - 4.
• I vårt vertex -exempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vi vet att h = 5 utan att göra någon matte.

Steg 4. Beräkna k

Liksom h är k redan känt i ekvationen för toppformen. För ekvationer av allmän form, kom ihåg att k = f (h). Med andra ord kan du hitta k genom att ersätta alla x -värden i ekvationen med de h -värden du just hittat.

• Vi har redan i vårt allmänna formexempel fastställt att h = -4. För att hitta k löser vi vår ekvation genom att koppla in värdet h i stället för x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Steg 7.

• I vårt toppformsexempel vet vi igen värdet av k (vilket är 12) utan att behöva göra någon matte.

Steg 5. Rita din topp

Spetsen på din parabel är punkten (h, k)-h representerar x-koordinaten, medan k representerar y-koordinaten. Spetsen är mittpunkten för din parabel - antingen längst ner på U eller högst upp på det inverterade U. Att känna hörnen är en viktig del av att rita en exakt parabel - ofta i skolarbetet är det att bestämma hörnet den delen att leta efter i en fråga.

• I vårt allmänna exempel är vår topp (-4, 7). Således kommer vår parabel att kulminera 4 steg till vänster från 0 och 7 steg ovan (0, 0). Vi måste skildra denna punkt i vårt diagram och se till att markera koordinaterna.
• I vårt vertex -exempel är vår topp (5, 12). Vi måste rita en punkt 5 steg till höger och 12 steg ovan (0, 0).

Steg 6. Rita parabelns axel (valfritt)

Symmetriaxeln för en parabel är en linje som passerar genom dess centrum och delar den exakt i mitten. På denna axel återspeglar parabolens vänstra sida den högra sidan. För kvadratiska ekvationer i formen ax² + bx + c eller a (x - h)² + k, symmetriaxeln är linjen som är parallell med y-axeln (med andra ord exakt vertikal) och passerar genom vertexen.

När det gäller vårt allmänna exempel är axeln linjen parallell med y-axeln och passerar genom punkten (-4, 7). Även om det inte är en del av parabolen, kan du med hjälp av en tunn markering av denna rad i slutändan hjälpa dig att se den symmetriska formen på parabolens kurva

Steg 7. Hitta riktningen för öppningen av parabolen

Efter att ha känt parabolens topp och axel, måste vi nästa veta om parabolen öppnar sig eller ner. Lyckligtvis är det enkelt. Om värdet på a är positivt öppnar parabolen uppåt, medan om värdet på a är negativt öppnas parabolen nedåt (dvs. parabolen kommer att inverteras).

• För vårt allmänna exempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), vi vet att vi har en parabel som öppnar sig eftersom, i vår ekvation, a = 2 (positivt).
• För vårt vertex -exempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vi vet att vi också har en parabel som öppnar sig eftersom a = 4 (positivt).

Steg 8. Om det behövs, hitta och rita x-skärningen

I skolarbete kommer du ofta att bli ombedd att hitta x-avlyssningen i parabolen (vilket är en eller två punkter där parabolen möter x-axeln). Även om du inte hittar en är dessa två punkter mycket viktiga för att rita en exakt parabel. Men inte alla paraboler har en x-skärning. Om din parabel har en hörn som öppnar sig och dess hörn är ovanför x-axeln eller om den öppnar nedåt och dess hörn är under x-axeln, parabolen kommer inte att ha någon x-skärning. Annars löser du din x-avlyssning på något av följande sätt:

• Gör bara f (x) = 0 och lös ekvationen. Denna metod kan användas för enkla kvadratiska ekvationer, särskilt i toppform, men kommer att vara mycket svårt för komplexa ekvationer. Se nedan för ett exempel

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Rot (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 och 13 är x-avlyssningen i parabolen.

• Faktor din ekvation. Några ekvationer i formen ax² + bx + c kan enkelt räknas in i formen (dx + e) (fx + g), där dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx och e × g = c. I det här fallet är dina x-avlyssningar x-värden som gör vilken term som helst inom parentes = 0. Till exempel:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • I det här fallet är din enda x -avlyssning -1 eftersom att göra x lika med -1 kommer att göra en faktorterm inom parentes lika med 0.

• Använd den kvadratiska formeln. Om du inte enkelt kan lösa din x-skärning eller faktor din ekvation, använd en speciell ekvation som kallas en kvadratisk formel som skapades för detta ändamål. Om det inte är löst ännu, konvertera ekvationen till formaxen² + bx + c, ange sedan a, b och c i formeln x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Observera att denna metod ofta ger dig två svar för värdet x, vilket är OK-det betyder bara att din parabel har två x-avlyssningar. Se nedan för ett exempel:

  • -5x² + 1x + 10 sätts in i den kvadratiska formeln så här:
  • x = (-1 +/- Rot (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Rot (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Rot (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) och (-15, 18/-10). X-avlyssningen i parabolen är x = - 1, 318 och 1, 518
  • Vårt tidigare exempel på den allmänna formen, 2x² +16x+39 sätts in i den kvadratiska formeln enligt följande:
  • x = (-16 +/- Rot (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- rot (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Rot (-56)/-10
  • Eftersom det är omöjligt att hitta kvadratroten på ett negativt tal, vet vi att denna parabel har ingen x-skärning.

Steg 9. Om det behövs, hitta och rita y-skärningen

Även om det ofta inte är nödvändigt att leta efter y-avlyssningen i ekvationer (den punkt där parabolen passerar genom y-axeln) kan du så småningom behöva hitta den, särskilt om du går i skolan. Processen är ganska enkel-gör bara x = 0, lös sedan ekvationen för f (x) eller y, vilket ger värdet av y där din parabel går genom y-axeln. Till skillnad från x-avlyssningen kan en vanlig parabel bara ha en y-skärning. Obs-för ekvationer av allmän form är y-interceptet y = c.

• Till exempel vet vi att vår kvadratiska ekvation är 2x² + 16x + 39 har ett y-intercept vid y = 39, men det kan också hittas på följande sätt:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. parabolens y-intercept är vid y = 39.

    Som nämnts ovan är y-interceptet vid y = c.

• Formen på vår toppunktsekvation är 4 (x - 5)² + 12 har en y-skärning som kan hittas på följande sätt:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolens y-intercept är vid y = 112.

Steg 10. Rita vid behov ytterligare punkter och rita sedan en graf

Nu har du toppunkten, riktningen, x-avlyssningen och möjligen y-avlyssningen i din ekvation. I detta skede kan du försöka rita din parabel med de punkter du har som vägledning, eller leta efter andra punkter att fylla i din parabel så att kurvan du ritar blir mer exakt. Det enklaste sättet att göra detta är att helt enkelt ange några x-värden på valfri sida av din toppunkt och sedan plotta dessa punkter med de y-värden du får. Ofta ber lärare dig att leta efter flera punkter innan du ritar din parabel.

• Låt oss granska ekvationen x² + 2x + 1. Vi vet redan att x -interceptet bara är vid x = -1. Eftersom kurvan bara vidrör x-skärningspunkten vid en punkt, kan vi dra slutsatsen att toppunkten är dess x-skärning, vilket innebär att toppunkten är (-1, 0). Vi har faktiskt bara en poäng för denna parabel - inte tillräckligt för att dra en bra parabel. Låt oss leta efter några andra punkter för att se till att vi ritar en grundlig graf.

  • Låt oss hitta y -värdena för följande x -värden: 0, 1, -2 och -3.
  • För 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Vår poäng är (0, 1).

  • För 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Vår poäng är (1, 4).

  • För -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Vår poäng är (-2, 1).

  • För -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Vår poäng är (-3, 4).

  • Rita dessa punkter på grafen och rita din U-formade kurva. Observera att parabolen är perfekt symmetrisk - när dina punkter på ena sidan av parabeln är heltal kan du vanligtvis minska arbetet med att helt enkelt reflektera en given punkt på parabelns symmetriaxel för att hitta samma punkt på andra sidan av parabeln.

Tips

• Avrunda siffror eller använd bråk enligt din algebra lärares begäran. Detta hjälper dig att bättre kartlägga den kvadratiska ekvationen.
• Observera att i f (x) = ax² + bx + c, om b eller c är lika med noll, försvinner dessa siffror. Till exempel 12x² + 0x + 6 blir 12x² + 6 eftersom 0x är 0.