I derivatberäkning är en böjningspunkt den punkt på en kurva vid vilken kurvan ändrar tecken (från positivt till negativt eller från negativt till positivt). Den används i en mängd olika ämnen, inklusive teknik, ekonomi och statistik, för att bestämma grundläggande förändringar i data. Om du behöver hitta böjningspunkten för en kurva, gå till steg 1.
Steg
Metod 1 av 3: Förstå inflektionspunkter
Steg 1. Förstå den konkava funktionen
För att förstå böjningspunkten måste du skilja mellan konkava och konvexa funktioner. En konkav funktion är en funktion där linjen som förbinder två punkter på diagrammet aldrig är över diagrammet.
Steg 2. Förstå den konvexa funktionen
En konvex funktion är i princip motsatsen till en konvex funktion: det vill säga en funktion där linjen som förbinder två punkter på grafen aldrig är under grafen.
Steg 3. Förstå grunderna i en funktion
Grunden för en funktion är den punkt där funktionen är lika med noll.
Om du ska rita en funktion är baserna de punkter där funktionen skär x-axeln
Metod 2 av 3: Hitta derivatet av en funktion
Steg 1. Hitta det första derivatet av din funktion
Innan du kan hitta böjningspunkten måste du hitta derivatan av din funktion. Derivatet av den grundläggande funktionen finns i valfri kalkylbok; Du måste lära dig dem innan du kan gå vidare till mer komplicerade jobb. Det första derivatet skrivs som f '(x). För ett polynomuttryck av formen axp + bx (p − 1) + cx + d är det första derivatet apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c.
-
För att illustrera, anta att du måste hitta böjningspunkten för funktionen f (x) = x3 +2x − 1. Beräkna det första derivatet av funktionen så här:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) ′ (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Steg 2. Hitta det andra derivatet av din funktion
Det andra derivatet är det första derivatet av funktionens första derivat, skrivet som f (x).
-
I exemplet ovan skulle beräkningen av det andra derivatet av funktionen vara så här:
f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Steg 3. Gör det andra derivatet lika med noll
Ställ in ditt andra derivat till lika med noll och lösa ekvationen. Ditt svar är en möjlig böjpunkt.
-
I exemplet ovan ser din beräkning ut så här:
f (x) = 0
6x = 0
x = 0
Steg 4. Hitta det tredje derivatet av din funktion
För att se om ditt svar verkligen är en böjningspunkt, hitta det tredje derivatet, som är det första derivatet av funktionens andra derivat, skrivet som f (x).
-
I exemplet ovan ser din beräkning ut så här:
f (x) = (6x) ′ = 6
Metod 3 av 3: Hitta inflektionspunkter
Steg 1. Kontrollera ditt tredje derivat
Standardregeln för att kontrollera möjliga böjpunkter är följande: "Om det tredje derivatet inte är noll, f (x) =/ 0, är den möjliga böjningspunkten faktiskt böjningspunkten." Kontrollera ditt tredje derivat. Om det inte är lika med noll är värdet den verkliga böjningspunkten.
I exemplet ovan är ditt tredje derivat 6, inte 0. Därför är 6 den sanna böjningspunkten
Steg 2. Hitta böjningspunkten
Böjningspunktens koordinater skrivs som (x, f (x)), där x är variabelns värde vid böjningspunkten och f (x) är funktionsvärdet vid böjningspunkten.
-
I exemplet ovan, kom ihåg att när du beräknar det andra derivatet hittar du att x = 0. Därför måste du hitta f (0) för att bestämma dina koordinater. Din beräkning kommer att se ut så här:
f (0) = 03 +2 × 0−1 = 1.
Steg 3. Anteckna dina koordinater
Koordinaterna för din böjningspunkt är ditt x-värde och det värde du beräknade ovan.
