Två fraktioner är ekvivalenta om de har samma värde. Att veta hur man konverterar fraktioner till sina likvärdiga former är en extremt viktig matematisk skicklighet, som krävs för alla former av matematik från grundläggande algebra till avancerad kalkyl. Denna artikel kommer att ge flera sätt att beräkna ekvivalenta fraktioner från grundläggande multiplikation och division till mer komplexa sätt att lösa ekvivalenta fraktionsekvationer.
Steg
Metod 1 av 5: Ordna ekvivalenta fraktioner
Steg 1. Multiplicera täljaren och nämnaren med samma nummer
Två olika men likvärdiga bråk har per definition en täljare och nämnare som är multiplar av varandra. Med andra ord, att multiplicera täljaren och nämnaren för en bråkdel med samma tal ger ekvivalenta bråk. Även om siffrorna i den nya fraktionen kommer att vara olika kommer fraktionerna att ha samma värde.
- Om vi till exempel tar fraktionen 4/8 och multiplicerar täljaren och nämnaren med 2 får vi (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Dessa två fraktioner är ekvivalenta.
- (4 × 2)/(8 × 2) är faktiskt detsamma som 4/8 × 2/2. Kom ihåg att när vi multiplicerar två fraktioner multiplicerar vi rakt, vilket betyder täljaren med täljaren och nämnaren med nämnaren.
- Observera att 2/2 är lika med 1 om du gör divisionen. Således är det lättare att förstå varför 4/8 och 8/16 är ekvivalenta eftersom multiplicering av 4/8 × (2/2) = förblir 4/8. På samma sätt är det samma sak som att säga 4/8 = 8/16.
- Varje given fraktion har ett oändligt antal ekvivalenta fraktioner. Du kan multiplicera både täljaren och nämnaren med vilket heltal som helst, oavsett storlek eller liten, för att få en ekvivalent bråkdel.
Steg 2. Dela täljaren och nämnaren med samma siffra
Liksom multiplikation kan division också användas för att hitta en ny bråkdel som motsvarar din ursprungliga bråkdel. Dela bara täljaren och nämnaren för en bråkdel med samma tal för att få motsvarande bråk. Det finns en nackdel med denna process - den slutliga fraktionen måste ha heltal i både täljaren och nämnaren för att vara sant.
Låt oss till exempel titta tillbaka på 4/8. Om vi i stället för att multiplicera både täljaren och nämnaren med 2 får vi (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 och 4 är heltal, så dessa ekvivalenta fraktioner är sanna
Metod 2 av 5: Använda grundläggande multiplikation för att bestämma jämlikhet
Steg 1. Hitta det tal som måste multipliceras med den mindre nämnaren för att få den större nämnaren
Många problem med fraktioner innebär att avgöra om två fraktioner är ekvivalenta. Genom att beräkna detta tal kan du börja likställa bråktermerna för att bestämma jämlikhet.
- Till exempel, återanvänd fraktionerna 4/8 och 8/16. Den mindre nämnaren är 8 och vi måste multiplicera talet med 2 för att få den större nämnaren, som är 16. Så talet i detta fall är 2.
- För svårare tal kan du dela den större nämnaren med den mindre nämnaren. I detta fall är 16 dividerat med 8, vilket fortfarande ger 2.
- Antalet är inte alltid ett heltal. Om nämnaren till exempel är 2 och 7 är siffran 3, 5.
Steg 2. Multiplicera täljaren och nämnaren för den bråkdel som har den mindre termen med talet från det första steget
Två olika men likvärdiga fraktioner har per definition täljare och nämnare som är multiplar av varandra. Med andra ord, att multiplicera täljaren och nämnaren för en bråkdel med samma tal ger en ekvivalent bråkdel. Även om siffrorna i denna nya bråkdel kommer att vara olika, kommer dessa fraktioner att ha samma värde.
Till exempel, om vi använder bråkdelen 4/8 från steg ett och multiplicerar täljaren och nämnaren med det tal vi definierade tidigare, vilket är 2, får vi (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Detta resultat visar att dessa två fraktioner är ekvivalenta.
Metod 3 av 5: Använda Basic Division för att bestämma jämlikhet
Steg 1. Räkna varje bråk som ett decimaltal
För enkla bråk utan variabler kan du representera varje bråk som ett decimaltal för att bestämma jämlikhet. Eftersom varje bråkdel faktiskt är ett delningsproblem är detta det enklaste sättet att bestämma jämlikhet.
- Till exempel, använd fraktionen vi använde tidigare, 4/8. Fraktionen 4/8 motsvarar att säga 4 dividerat med 8, vilket är 4/8 = 0,5. Du kan också lösa det andra exemplet, som är 8/16 = 0,5. Oavsett termerna i en bråkdel är fraktionen ekvivalent om båda siffrorna är desamma när de representeras i decimaler.
- Tänk på att decimaluttryck kan ha flera siffror innan jämlikheten är uppenbar. Som ett grundläggande exempel upprepas 1/3 = 0,333 medan 3/10 = 0,3. Med hjälp av mer än en siffra ser vi att dessa två fraktioner inte är ekvivalenta.
Steg 2. Dela täljaren och nämnaren för en bråkdel med samma tal för att få en ekvivalent bråkdel
För mer komplexa fraktioner kräver delningsmetoden ytterligare steg. Med multiplikation kan du dela täljaren och nämnaren för en bråkdel med samma tal för att få en ekvivalent bråkdel. Det finns en nackdel med denna process. Den sista fraktionen måste ha heltal i både täljaren och nämnaren för att vara sant.
Låt oss till exempel titta tillbaka på 4/8. Om vi i stället för att multiplicera dividerar täljaren och nämnaren med 2 får vi (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 och 4 är heltal, så dessa ekvivalenta fraktioner är sanna.
Steg 3. Förenkla fraktionerna till deras enklaste termer
De flesta fraktioner skrivs vanligtvis i sina enklaste termer, och du kan konvertera bråk till sin enklaste form genom att dividera med den största gemensamma faktorn (GCF). Detta steg utförs i samma logik som att skriva ekvivalenta fraktioner och omvandla dem till samma nämnare, men denna metod försöker förenkla varje fraktion till dess minsta möjliga termer.
- När en bråkdel är i sin enklaste form har täljaren och nämnaren de minsta möjliga värdena. Båda kan inte delas med något heltal för att få det mindre värdet. För att omvandla en bråkdel som inte är i sin enklaste form till dess enklaste ekvivalenta form delar vi täljaren och nämnaren med deras största gemensamma faktor.
-
Täljarens och nämnarens största gemensamma faktor (GCF) är det största antalet som delar dem för att ge ett heltal. Så, i vårt 4/8 exempel, eftersom
Steg 4. är det största talet som är delbart med 4 och 8, kommer vi att dela täljaren och nämnaren för vår bråkdel med 4 för att få de enklaste termerna. (4 4)/(8 4) = 1/2. För vårt andra exempel, 8/16, är GCF 8, som också returnerar värdet 1/2 som det enklaste uttrycket för en bråkdel.
Metod 4 av 5: Använda tvärprodukter för att hitta variabler
Steg 1. Ordna de två fraktionerna så att de är lika med varandra
Vi använder korsmultiplikation för matematiska problem där vi vet att bråken är ekvivalenta, men ett av siffrorna har ersatts av en variabel (vanligtvis x) som vi måste lösa. I sådana fall vet vi att dessa fraktioner är ekvivalenta eftersom de är de enda termerna på andra sidan likhetstecknet, men ofta är sättet att hitta variabeln inte självklart. Lyckligtvis med korsmultiplikation är det enkelt att lösa dessa typer av problem.
Steg 2. Ta två ekvivalenta fraktioner och multiplicera dem med en "X" -form
Med andra ord multiplicerar du täljaren av en bråk med nämnaren för en annan bråk och vice versa, ordnar sedan de två svaren för att matcha varandra och lösa.
Ta våra två exempel, 4/8 och 8/16. Ingen av dem har en variabel, men vi kan bevisa konceptet eftersom vi redan vet att de är likvärdiga. Genom korsmultiplikation får vi 4/16 = 8 x 8 eller 64 = 64, vilket är sant. Om dessa två tal inte är lika är fraktionerna inte ekvivalenta
Steg 3. Lägg till variabler
Eftersom korsmultiplikation är det enklaste sättet att bestämma ekvivalenta fraktioner när du måste hitta variabler, låt oss lägga till variabler.
-
Till exempel, låt oss använda ekvationen 2/x = 10/13. För att korsa multiplicera multiplicerar vi 2 med 13 och 10 med x och sätter sedan våra svar lika med varandra:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Härifrån är svaret på vår variabel ett enkelt algebraproblem. x = 26/10 = 2, 6, vilket gör den initiala ekvivalenta fraktionen 2/2, 6 = 10/13.
Steg 4. Använd korsmultiplikation för multipelvariabla fraktioner eller variabla uttryck
En av de bästa sakerna med korsmultiplikation är att det faktiskt fungerar på samma sätt, oavsett om du arbetar med två enkla fraktioner (som ovan) eller mer komplexa fraktioner. Till exempel, om båda fraktionerna har variabler behöver du bara eliminera dessa variabler i lösningsprocessen. På samma sätt, om din bråkets räknare eller nämnare har ett variabelt uttryck (som x + 1), bara "multiplicera" det med hjälp av den distributiva egenskapen och lösa som vanligt.
-
Till exempel, låt oss använda ekvationen ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). I det här fallet, som ovan, löser vi det genom tvärprodukt:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, då kan vi förenkla fraktionen genom att subtrahera 2x från båda sidor
- 2 = 2x + 12, sedan isolerar vi variabeln genom att subtrahera 12 från båda sidor
- -10 = 2x, och dividera med 2 för att hitta x
- - 5 = x
Metod 5 av 5: Använda kvadratiska formler för att hitta variabler
Steg 1. Korsa de två fraktionerna
För jämställdhetsproblem som kräver en kvadratisk formel börjar vi fortfarande med att använda tvärprodukt. Varje korsprodukt som innebär att multiplicera termerna i en variabel med termerna i en annan variabel kommer sannolikt att resultera i ett uttryck som inte lätt kan lösas med hjälp av algebra. I sådana fall kan du behöva använda tekniker som factoring och/eller kvadratiska formler.
-
Låt oss till exempel titta på ekvationen ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Låt oss först korsa multiplicera:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Steg 2. Skriv ekvationen som en kvadratisk ekvation
I det här avsnittet vill vi skriva denna ekvation i kvadratisk form (ax2 + bx + c = 0), vilket vi gör genom att ställa ekvationen lika med noll. I det här fallet subtraherar vi 12 från båda sidor för att få 2x2 - 14 = 0.
Vissa värden kan vara lika med 0. Även om 2x2 - 14 = 0 är den enklaste formen av vår ekvation, den verkliga kvadratiska ekvationen är 2x2 + 0x + (-14) = 0. Det kan vara till hjälp i början att skriva ner den kvadratiska ekvationens form även om vissa värden är lika med 0.
Steg 3. Lös genom att ansluta siffrorna från din kvadratiska ekvation till den kvadratiska formeln
Kvadratisk formel (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) hjälper oss att hitta vårt x -värde i detta avsnitt. Var inte rädd för formelns längd. Du tar bara värdena från din kvadratiska ekvation i steg två och lägger dem på rätt ställen innan du löser dem.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. I vår ekvation, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 och c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Steg 4. Kontrollera ditt svar genom att ange värdet på x i din kvadratiska ekvation igen
Genom att ansluta det beräknade x -värdet tillbaka till din kvadratiska ekvation från steg två kan du enkelt avgöra om du fick svaret rätt. I det här exemplet ansluter du 2, 64 och -2, 64 till den ursprungliga kvadratiska ekvationen.
Tips
- Att konvertera en bråkdel till dess ekvivalent är faktiskt en form av att multiplicera en bråk med 1. Vid omvandling av 1/2 till 2/4 är multiplicering av täljare och nämnare med 2 detsamma som att multiplicera 1/2 med 2/2, vilket är lika med 1.
-
Om så önskas, konvertera det blandade talet till en gemensam bråkdel för att göra konverteringen enklare. Naturligtvis är inte alla fraktioner du stöter på lika enkla som att konvertera vårt 4/8 exempel ovan. Till exempel kan blandade tal (som 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) göra konverteringsprocessen lite mer komplicerad. Om du måste konvertera ett blandat tal till en vanlig bråkdel kan du göra detta på två sätt: genom att konvertera det blandade talet till en gemensam bråkdel och sedan konvertera det som vanligt, eller genom att behålla formen för blandade tal och få svar i form av blandade tal.
- För att konvertera till en gemensam bråk, multiplicera heltalskomponenten i det blandade talet med nämnaren för bråkdelskomponenten och lägg sedan till i täljaren. Till exempel 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Om du vill kan du sedan ändra det efter behov. Till exempel 5/3 × 2/2 = 10/6, som förblir lika med 1 2/3.
- Vi behöver dock inte konvertera det till en vanlig bråkdel som ovan. Annars lämnar vi heltalskomponenten ensam, ändrar endast bråkdelskomponenten och lägger till heltalskomponenten oförändrad. Till exempel för 3 4/16 ser vi bara 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Så genom att lägga tillbaka våra heltalskomponenter får vi ett nytt blandat tal, 3 1/4.
Varning
- Multiplikation och division kan användas för att få ekvivalenta bråk eftersom multiplikation och division med bråkformen av talet 1 (2/2, 3/3, etc.) ger ett svar som är ekvivalent med den ursprungliga bråkdelen, per definition. Addition och subtraktion kan inte användas.
-
Även om du multiplicerar täljare och nämnare när du multiplicerar bråk, lägger du inte till eller subtraherar nämnare när du lägger till eller subtraherar bråk.
Till exempel ovan vet vi att 4/8 4/4 = 1/2. Räknar vi ihop med 4/4 får vi ett helt annat svar. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 eller 3/2, de är inte lika med 4/8.
