3 sätt att lösa kubikekvationer

2024 Författare: Jason Gerald | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-16 19:59

När du först hittar kubikekvationen (som har formen ax ³ + bx ² + cx + d = 0), kanske du tror att problemet blir svårt att lösa. Men vet att lösning av kubikekvationer faktiskt har funnits i århundraden! Denna lösning, som upptäcktes av italienska matematiker Niccolò Tartaglia och Gerolamo Cardano på 1500 -talet, är en av de första formlerna som är kända i det antika Grekland och Rom. Att lösa kubikekvationer kan vara lite svårt, men med rätt tillvägagångssätt (och tillräcklig kunskap) kan även de svåraste kubikekvationerna lösas.

Steg

Metod 1 av 3: Lösa med hjälp av kvadratiska ekvationer

Steg 1. Kontrollera om din kubikekvation har en konstant

Som nämnts ovan är formen för den kubiska ekvationen ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, och värdet av d kan vara 0 utan att påverka formen på denna kubikekvation; detta betyder i grunden att kubikekvationen inte alltid behöver inkludera värdet av bx ², cx eller d för att vara en kubikekvation. För att börja använda detta ganska enkla sätt att lösa kubikekvationer, kontrollera om din kubikekvation har en konstant (eller ett värde av d). Om din ekvation inte har en konstant eller ett värde för d, kan du använda en kvadratisk ekvation för att hitta svaret på kubikekvationen efter några steg.

Å andra sidan, om din ekvation har ett konstant värde, behöver du en annan lösning. Se stegen nedan för andra tillvägagångssätt

Steg 2. Faktorera x -värdet från den kubiska ekvationen

Eftersom din ekvation inte har något konstant värde har alla komponenter i den variabeln x. Detta innebär att detta värde av x kan räknas ut ur ekvationen för att förenkla det. Gör detta steg och skriv om din kubikekvation i formen x (ax ² + bx + c).

Låt oss till exempel säga att den ursprungliga kubikekvationen här är 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Genom att ta med en variabel x från denna ekvation får vi ekvationen x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Steg 3. Använd kvadratiska ekvationer för att lösa ekvationerna inom parentes

Du kanske märker att några av dina nya ekvationer, som är inneslutna inom parentes, har formen av en kvadratisk ekvation (ax ² + bx + c). Detta betyder att vi kan hitta det värde som behövs för att göra denna ekvation lika med noll genom att ansluta a, b och c till den kvadratiska ekvationsformeln ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Utför dessa beräkningar för att hitta två svar på din kubikekvation.

• I vårt exempel, anslut värdena för a, b och c (3, -2 respektive 14) till den kvadratiska ekvationen enligt följande:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Svar 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• Svar 2:

  {2 - 12,8 i}/6

Steg 4. Använd nollor och ditt svar på din kvadratiska ekvation som ditt svar på din kubikekvation

Kvadratiska ekvationer kommer att ha två svar, medan kubiska ekvationer har tre svar. Du vet redan två svar av tre; som du får från den "kvadrerade" delen av ekvationen inom parentes. Om din kubikekvation kan lösas med "faktorisering" så här är ditt tredje svar nästan alltid 0. Säker! Du har just löst en kubikekvation.

Anledningen till att denna metod fungerar är det grundläggande faktumet att "alla tal multiplicerade med noll är lika med noll". När du räknar in ekvationen i formen x (ax ² + bx + c) = 0, du delar det i princip bara i två "delar"; en del är variabeln x på vänster sida och den andra delen är den kvadratiska ekvationen inom parentes. Om en av dessa två delar är noll, kommer hela ekvationen också att vara noll. Således är de två svaren på den kvadratiska ekvationen inom parentes, vilket skulle göra den till noll, svaren på kubikekvationen, liksom 0 själv - vilket skulle göra att delen på vänster sida också är noll.

Metod 2 av 3: Hitta heltalssvar med hjälp av en faktorlista

Steg 1. Se till att din kubikekvation har ett konstant värde

Även om metoderna som beskrivs ovan är ganska enkla att använda eftersom du inte behöver lära dig en ny beräkningsteknik för att använda dem, hjälper de inte alltid dig att lösa kubikekvationer. Om din kubikekvation har formen ax ³ + bx ² + cx + d = 0, där värdet av d inte är lika med noll, fungerar inte "faktoriserings" -metoden ovan, så du måste använda en av metoderna i det här avsnittet för att lösa detta.

Låt oss till exempel säga att vi har ekvationen 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. I det här fallet, för att få noll på den högra sidan av ekvationen, måste vi lägga till 6 till båda sidor. Efter det får vi en ny ekvation 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, med värdet d = 6, så vi kan inte använda metoden "faktorisering" som i den tidigare metoden.

Steg 2. Hitta faktorerna för a och d

För att lösa din kubikekvation, börja med att hitta faktorn för a (koefficienten x ³) och d (det konstanta värdet i slutet av ekvationen). Kom ihåg att faktorer är tal som kan multipliceras med varandra för att producera ett visst tal. Till exempel, eftersom du kan få 6 genom att multiplicera 6 × 1 och 2 × 3, är 1, 2, 3 och 6 faktorer av 6.

• I exempelproblemet vi använder, a = 2 och d = 6. Faktorn 2 är 1 och 2. Medan faktorn 6 är 1, 2, 3 och 6.

  

  Steg 3. Dela faktorn a med faktorn d

  Lista sedan de värden du får genom att dividera varje faktor av a med varje faktor på d. Denna beräkning resulterar vanligtvis i många bråkvärden och flera hela tal. Heltalet för att lösa din kubikekvation är ett av de heltal som erhålls från beräkningen.

  I vår ekvation delar du faktorvärdet för a (1, 2) med faktorn d (1, 2, 3, 6) och får följande resultat: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 och 2/3. Lägg sedan till negativa värden i listan, så får vi: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 och -2/3. Svaret på kubikekvationen - som är ett heltal, finns på listan.

  

  Steg 4. Använd syntetisk division för att manuellt kontrollera dina svar

  När du har en lista med värden som ovan, kan du leta upp heltalsvärdena som är svaren på din kubikekvation genom att ange varje heltal manuellt och hitta vilket värde som returnerar noll. Men om du inte vill spendera tid på detta, finns det ett sätt att göra det snabbare, nämligen med en beräkning som kallas syntetisk division. I grund och botten skulle du dela ditt heltal med de ursprungliga koefficienterna a, b, c och d i din kubikekvation. Om resten är noll är värdet ett av svaren på din kubikekvation.

  • Syntetisk uppdelning är ett komplext ämne - se länken nedan för mer information. Här är ett exempel på hur du hittar ett av svaren på din kubikekvation med syntetisk division:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Eftersom vi får slutresultatet lika med 0, vet vi att ett av heltalssvaret på vår kubikekvation är - 1.

  Metod 3 av 3: Använda den diskriminerande metoden

  

  Steg 1. Skriv ner ekvationerna a, b, c och d

  För att hitta svaret på kubikekvationen på detta sätt kommer vi att göra många beräkningar med koefficienterna i vår ekvation. På grund av detta är det en bra idé att notera värdena för a, b, c och d innan du glömmer några av värdena.

  Till exempel för ekvationen x ³ - 3 x ² + 3 x -1, skriv ner det som a = 1, b = -3, c = 3 och d = -1. Glöm inte att när variabeln x inte har någon koefficient är dess värde 1.

  

  Steg 2. Beräkna 0 = b ² - 3 luftkonditioneringsapparater.

  Det diskriminerande tillvägagångssättet för att hitta svar på kubikekvationer kräver komplexa beräkningar, men om du följer stegen noggrant kan det vara mycket användbart för att lösa kubikekvationer som är svåra att lösa på andra sätt. Till att börja med, hitta värdet 0, vilket är det första signifikanta värdet av de flera vi behöver, plugga in det lämpliga värdet i formeln b ² - 3 luftkonditioneringsapparater.

  • I exemplet vi använder löser vi det enligt följande:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Steg 3. Beräkna 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Nästa betydande värde vi behöver, 1, kräver en längre beräkning, men kan hittas på samma sätt som 0. Anslut lämpligt värde till formeln 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d för att få värdet 1.

  • I det här exemplet löser vi det enligt följande:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Steg 4. Beräkna = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Därefter beräknar vi värdet "diskriminerande" för värdena 0 och 1. Diskrimineraren är ett tal som ger dig information om roten till polynomet (du kan omedvetet ha memorerat den kvadratiska diskriminerande formeln: b ² - 4 luftkonditioneringsapparater). När det gäller en kubisk ekvation, om värdet på den diskriminerande är positivt, har ekvationen tre verkliga tal svar. Om det diskriminerande värdet är lika med noll, har ekvationen ett eller två svar i verkligt tal, och några av svaren har samma värde. Om värdet är negativt har ekvationen bara ett reellt tal svar, eftersom ekvationsdiagrammet alltid skär x-axeln minst en gång.)

  • I det här exemplet, eftersom både 0 och 1 = 0, är det väldigt enkelt att hitta värdet på. Vi behöver bara beräkna det på följande sätt:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, så vår ekvation har 1 eller 2 svar.

  

  Steg 5. Beräkna C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Det sista värdet som är viktigt för oss att få är värdet av C. Detta värde gör att vi kan få alla tre rötterna i vår kubikekvation. Lös som vanligt och anslut värdena 1 och 0 till formeln.

  • I det här exemplet får vi värdet av C med:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Steg 6. Beräkna ekvationens tre rötter med din variabel

  Roten (svaret) på din kubikekvation bestäms av formeln (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, där u = (-1 + (-3))/2 och n är lika med 1, 2 eller 3. Anslut dina värden till formeln för att lösa dem-det kan finnas en hel del beräkningar du behöver göra, men du borde få alla dina kubiska ekvationssvar!

  • I det här exemplet kan vi lösa det genom att kontrollera svaren när n är lika med 1, 2 och 3. Svaret vi får från denna beräkning är det möjliga svaret på vår kubikekvation - vilket värde som helst som vi kopplar in i kubikekvationen och det ger samma resultat. med 0 är det rätta svaret. Om vi till exempel får ett svar som är lika med 1 om vi i ett av våra beräkningsexperiment kopplar värdet 1 till ekvationen x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 ger slutresultatet lika med 0. Således

    Steg 1. är ett av svaren på vår kubikekvation.