3 sätt att faktorera ett trinomial

2024 Författare: Jason Gerald | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-15 08:24

En trinomin är ett algebraiskt uttryck som består av tre termer. Mest troligt kommer du att börja lära dig att faktorera en kvadratisk trinomial, vilket betyder en trinom skriven i formen ax² + bx + c. Det finns några knep att lära sig, som kan användas för många olika typer av kvadratiska trinomin, men du kommer att kunna använda dem bättre och snabbare med träning. Polynom av högre ordning, med termer som x³ eller x⁴, kan inte alltid lösas på samma sätt, men du kan ofta använda enkel factoring eller substitution för att göra det till ett problem som kan lösas som alla andra kvadratiska formler.

Steg

Metod 1 av 3: Factoring x² + bx + c

Steg 1. Lär dig PLDT -multiplikation

Du kanske har lärt dig att multiplicera PLDT, eller "Först, utanför, in, sista" för att multiplicera uttryck som (x+2) (x+4). Det är användbart att veta hur denna multiplikation fungerar innan vi faktor:

Multiplicera stammarna Först: (x+2)(x+4) = x² + _
Multiplicera stammarna Utanför: (x+2) (x+

Steg 4.) = x²+ 4x + _
Multiplicera stammarna I: (x+

Steg 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _
Multiplicera stammarna Slutlig: (x+

Steg 2.) (x

Steg 4.) = x²+4x+2x

Steg 8.
Förenkla: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Steg 2. Förstå factoring

När du multiplicerar två binomialer med PLDT -metoden får du en trinom (ett uttryck med tre termer) i formen x²+ b x+ c, där a, b och c är vanliga tal. Om du börjar med en ekvation som har samma form kan du dela in den i två binomialer.

Om ekvationerna inte är skrivna i denna ordning, ordna om ekvationerna så att de har denna ordning. Till exempel skriva om 3x - 10 + x² Blir x² + 3x - 10.
Eftersom den högsta effekten är 2 (x², denna typ av uttryck kallas kvadratisk.

Steg 3. Lämna ett tomt utrymme för svaret i form av PLDT -multiplikation

För nu är det bara att skriva (_ _)(_ _) där du kommer att skriva svaret. Vi kommer att fylla det medan vi arbetar med det

Skriv inte + eller - mellan de tomma termerna eftersom vi inte vet rätt tecken än

Steg 4. Fyll i de första termerna

För enkla problem är den första termen på din trinomial bara x², villkoren i den första positionen är alltid x och x. Detta är faktorerna för termen x² eftersom x gånger x = x².

Vårt exempel x² + 3x - 10 med x²så vi kan skriva:
(x _) (x _)
Vi kommer att arbeta med mer komplexa problem i nästa avsnitt, inklusive trinomier som börjar med termer som 6x² eller -x². Under tiden, följ dessa exempelfrågor.

Steg 5. Använd factoring för att gissa de sista termerna

Om du går tillbaka och läser stegen för hur du multiplicerar PLDT ser du att multiplicering av de sista termerna ger den sista termen i polynomet (termer som inte har x). Så för att faktorera måste vi hitta två tal som vid multiplicering ger den sista termen.

I vårt exempel x² + 3x - 10, sista termen är -10.
Vilka är faktorerna -10? Vilket tal multipliceras med -10?
Det finns flera möjligheter: -1 gånger 10, 1 gånger -10, -2 gånger 5 eller 2 gånger -5. Skriv ner dessa par någonstans för att komma ihåg dem.
Ändra inte vårt svar ännu. Vårt svar bör fortfarande se ut så här: (x _) (x _).

Steg 6. Testa möjligheterna som matchar den yttre och inre produkten

Vi har begränsat de sista villkoren till några möjligheter. Använd testsystemet för att testa alla möjligheter, multiplicera yttre och inre termer och jämföra produkten med vårt trinomial. Till exempel:

Vårt ursprungliga problem hade termen "x" vid 3x, så våra testresultat bör matcha denna term.
Tester -1 och 10: (x -1) (x+10). Utsida + Insida = 10x - x = 9x. Fel.
Test 1 och -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Detta är fel. Faktum är att om du testar -1 och 10 kommer du att upptäcka att 1 och -10 är motsatsen till svaret ovan: -9x istället för 9x.
Tester -2 och 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Resultatet motsvarar det inledande polynomet, så här är det rätta svaret: (x-2) (x+5).
I enkla fall som detta, om du inte har en konstant framför termen x², du kan använda det snabba sättet: lägg bara ihop de två faktorerna och sätt ett "x" bakom det (-2+5 → 3x). Denna metod fungerar dock inte för mer komplexa problem, så det är bättre att komma ihåg den "långa vägen" som beskrivs ovan.

Metod 2 av 3: Factoring More Complex Trinomials

Steg 1. Använd enkel factoring för att göra mer komplexa problem enklare

Till exempel måste du faktorera 3x² + 9x - 30. Hitta ett tal som kan faktor alla tre termerna ("största gemensamma faktorn" eller GCF). I detta fall är GCF 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Alltså 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Vi kan räkna ut det nya trinomiet med hjälp av stegen i avsnittet ovan. Vårt slutliga svar blir (3) (x-2) (x+5).

Steg 2. Leta efter mer komplicerande faktorer

Ibland kan factoring innebära en variabel, eller så kan du behöva faktorera flera gånger för att hitta det enklaste möjliga uttrycket. Här är några exempel:

2x²y + 14xy + 24y = (2 år)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Glöm inte att återskapa det nya trinomiet med hjälp av stegen i metod 1. Kontrollera ditt arbete och leta efter exempel på liknande problem i exempelfrågorna längst ner på denna sida.

Steg 3. Lös problem med ett tal framför x².

Vissa kvadratiska trinomial kan inte reduceras till den enklaste typen av problem. Lär dig hur du löser problem som 3x² + 10x + 8, träna sedan på egen hand med exempelfrågorna längst ner på denna sida:

Ställ in vårt svar till: (_ _)(_ _)
Våra "första" termer kommer att ha ett x, och att multiplicera dem ger 3x². Det finns bara en möjlighet: (3x _) (x _).
Lista faktorerna 8. Oddsen är 1 gånger 8 eller 2 gånger 4.
Testa denna möjlighet med yttre och inre termer. Observera att ordningen på faktorerna är mycket viktig eftersom den yttre termen multipliceras med 3x istället för x. Prova alla möjligheter tills du får Out+In = 10x (från det ursprungliga problemet):
(3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Nej
(3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Nej
(3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Nej
(3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x ja. Detta är rätt faktor.

Steg 4. Använd substitution för trinomin av högre ordning

Din mattebok kan överraska dig med ekvationer med höga krafter, till exempel x⁴, även efter att du har använt enkel factoring för att göra problemet enklare. Prova att ersätta en ny variabel som gör det till ett problem du vet hur du ska lösa. Till exempel:

x⁵+13x³+36x
= (x) (x⁴+13x²+36)
Låt oss skapa en ny variabel. Låt oss säga y = x² och lägg i den:
(x) (y²+13y+36)
= (x) (y+9) (y+4). Nu, konvertera den tillbaka till den initiala variabeln:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metod 3 av 3: Factoring Special Cases

Steg 1. Hitta primtal

Se om konstanten i den första eller tredje termen i trinomin är ett primtal. Ett primtal är bara delbart med sig själv och 1, så det finns bara ett par binomiala faktorer.

Till exempel i x² + 6x + 5, 5 är ett primtal, så binomin måste ha formen (_ 5) (_ 1).
I problemet med 3x²+10x+8, 3 är ett primtal, så binomialet måste ha formen (3x _) (x _).
För frågor 3x²+4x+1, både 3 och 1 är primtal, så den enda möjliga lösningen är (3x+1) (x+1). (Du bör fortfarande multiplicera detta nummer för att kontrollera ditt svar eftersom vissa uttryck inte kan räknas alls - till exempel 3x²+100x+1 har ingen faktor.)

Steg 2. Ta reda på om trinomin är en perfekt kvadrat

Ett perfekt fyrkantigt trinom kan delas in i två identiska binomialer, och faktorn skrivs vanligtvis som (x+1)² och inte (x+1) (x+1). Här är några exempel som tenderar att visas i frågor:

x²+2x+1 = (x+1)²och x²-2x+1 = (x-1)²
x²+4x+4 = (x+2)²och x²-4x+4 = (x-2)²
x²+6x+9 = (x+3)²och x²-6x+9 = (x-3)²
Perfekt fyrkantigt trinomium i formen a x² + bx + c har alltid termerna a och c som är positiva perfekta kvadrater (som 1, 4, 9, 16 eller 25) och en term b (positiv eller negativ) som är lika med 2 (√a * √c).

Steg 3. Ta reda på om ett problem inte har någon lösning

Alla trinomin kan inte räknas in. Om du inte kan faktorera en kvadratisk trinomial (ax²+bx+c), använd den kvadratiska formeln för att hitta svaret. Om det enda svaret är kvadratroten på ett negativt tal, finns det ingen lösning med ett reellt tal, då har problemet inga faktorer.

För icke-kvadratiska trinomin, använd Eisenstein-kriteriet, som beskrivs i avsnittet Tips

Svar och exempelfrågor

Svar på "komplicerade factoring" -frågor.

Detta är frågor från steget "mer komplicerade faktorer". Vi har förenklat problemen till enklare, så försök att lösa dem med hjälp av stegen i metod 1, kontrollera sedan ditt arbete här:
- (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Prova mer komplexa factoringproblem.

Dessa problem har samma faktor i varje term som måste beaktas först. Blockera ämnena efter likhetstecknet för att se svaren så att du kan kontrollera ditt arbete:
- 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) blockera ämnet för att se svaret
- -5x³y²+30x²y²-25 år²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
Öva på att använda frågor. Dessa problem kan inte räknas in i enklare ekvationer, så du måste hitta svaret i formuläret (_x + _) (_ x + _) med hjälp av trial and error:
- 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) block för att se svaret
- 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Tips: Du kanske vill prova mer än ett faktorpar för 9x.)
Tips
- Om du inte kan ta reda på hur du faktorerar ett kvadratiskt trinomium (ax²+bx+c) kan du använda den kvadratiska formeln för att hitta x.
- Även om du inte behöver veta hur du gör detta, kan du använda Eisenstein -kriterierna för att snabbt avgöra om ett polynom inte kan förenklas och räknas in. Detta kriterium gäller alla polynom men används bäst för trinomin. Om det finns ett primtal p som delar de två sista termerna jämnt och uppfyller följande villkor kan polynomen inte förenklas:
  - Konstanta termer (utan variabler) är multiplar av p men inte multiplar av p².
  - Prefixet (till exempel a in ax²+bx+c) är inte en multipel av p.
  - Till exempel 14x² +45x +51 kan inte förenklas eftersom det finns ett primtal (3) som kan delas med både 45 och 51, men inte delbart med 14, och 51 är inte delbart med 3².
Varning

Även om detta är sant för kvadratiska trinomin, är det trinomial som kan räknas inte nödvändigtvis en produkt av två binomialer. Till exempel x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).