Hur man beräknar kvadratrötter manuellt (med bilder)

2024 Författare: Jason Gerald | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-15 08:24

Dagarna innan räknare uppfanns måste studenter och professorer beräkna kvadratrötter manuellt. Flera olika sätt har utvecklats för att övervinna denna svåra process. Vissa sätt ger en grov uppskattning och andra ger ett exakt värde. För att lära dig hur du hittar kvadratroten på ett tal med bara enkla operationer, se steg 1 nedan för att komma igång.

Steg

Metod 1 av 2: Använda Prime Factorization

Steg 1. Dela upp ditt tal i perfekta kvadratfaktorer

Denna metod använder faktorerna för ett tal för att hitta kvadratroten av numret (beroende på antalet kan svaret vara ett exakt tal eller en nära approximation). Faktorerna för ett tal är en uppsättning andra tal som, när de multipliceras, producerar det talet. Till exempel kan du säga att faktorerna 8 är 2 och 4 eftersom 2 × 4 = 8. Samtidigt är perfekta kvadrater hela tal som är produkten av andra heltal. Till exempel är 25, 36 och 49 perfekta rutor eftersom de är 5. respektive², 6²och 7². Som du kanske har gissat är perfekta kvadratfaktorer faktorer som också är perfekta rutor. För att börja hitta kvadratroten genom primfaktorisering, försök först att förenkla ditt tal till dess perfekta kvadratfaktorer.

• Låt oss använda ett exempel. Vi vill hitta kvadratroten på 400 manuellt. För att börja delar vi numret i dess perfekta kvadratfaktorer. Eftersom 400 är en multipel av 100 vet vi att 400 är delbart med 25 - en perfekt kvadrat. Med en snabb uppdelning av skuggorna finner vi att 400 dividerat med 25 är lika med 16. Av en slump är 16 också en perfekt kvadrat. Således är de perfekta kvadratfaktorerna 400 25 och 16 eftersom 25 × 16 = 400.
• Vi kan skriva det som: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

Steg 2. Hitta kvadratroten för dina perfekta kvadratfaktorer

Multiplikationsegenskapen för kvadratroten anger att för varje tal a och b är Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). På grund av denna egenskap kan vi nu hitta kvadratroten för våra perfekta kvadratfaktorer och multiplicera dem för att få vårt svar.

• I vårt exempel hittar vi kvadratrötterna 25 och 16. Se nedan:

  • Rot (25 × 16)
  • Rot (25) × Rot (16)

  • 5 × 4 =

    Steg 20.

Steg 3. Om ditt nummer inte kan räknas in perfekt, förenkla ditt svar till dess enklaste form

I verkliga livet är ofta de tal du behöver för att hitta kvadratroten inte trevliga heltal med uppenbara perfekta kvadratfaktorer som 400. I dessa fall är det möjligt att vi inte kan hitta rätt svar. Som ett heltal. Men genom att hitta så många perfekta kvadratfaktorer som du kan hitta kan du hitta svaret i form av en kvadratrot som är mindre, enklare och lättare att beräkna. För att göra detta, minska ditt antal till en kombination av perfekta kvadratfaktorer och ofullkomliga kvadratfaktorer och förenkla sedan.

• Låt oss använda kvadratroten av 147 som ett exempel. 147 är inte en produkt av två perfekta rutor, så vi kan inte få det exakta heltalet enligt ovan. 147 är emellertid produkten av en perfekt kvadrat och ett annat nummer - 49 och 3. Vi kan använda denna information för att skriva vårt svar i sin enklaste form enligt följande:

  • Rot (147)
  • = Rot (49 × 3)
  • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  • = 7 × rot (3)

Steg 4. Beräkna vid behov

Med din kvadratrot i sin enklaste form är det oftast ganska enkelt att få en grov uppskattning av antalet svar genom att gissa värdet på den kvarvarande kvadratroten och multiplicera det. Ett sätt att vägleda din gissning är att leta efter perfekta rutor som är större än och mindre än antalet i din kvadratrot. Du kommer att märka att decimalvärdet för talet i kvadratroten ligger mellan de två talen, så att du kan gissa värdet mellan de två talen.

• Låt oss återgå till vårt exempel. eftersom 2² = 4 och 1² = 1, vi vet att roten (3) är mellan 1 och 2 - förmodligen närmare 2 än 1. Vi uppskattar 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Om vi kontrollerar vårt svar på miniräknaren kan vi se att vårt svar är ganska nära det verkliga svaret 12, 13.

  Detta gäller även större antal. Till exempel kan Root (35) approximeras mellan 5 och 6 (möjligen närmare 6). 5² = 25 och 6² = 36. 35 är mellan 25 och 36, så kvadratroten måste vara mellan 5 och 6. Eftersom 35 bara är en mindre än 36 kan vi med säkerhet säga att kvadratroten är något mindre än 6. Kontrollera med en miniräknare ge oss svaret är cirka 5, 92 - vi har rätt.

Steg 5. Alternativt, minska ditt antal till dess minst vanliga faktorer som ditt första steg

Att hitta faktorerna för perfekta kvadrater är inte nödvändigt om du enkelt kan bestämma primfaktorerna för ett tal (faktorer som också är primtal). Skriv ditt nummer i termer av dess minst vanliga faktorer. Hitta sedan paren primtal som matchar dina faktorer. När du hittar två primfaktorer som är desamma tar du bort dessa två tal från kvadratroten och placerar ett av dessa tal utanför kvadratroten.

• Hitta till exempel kvadratroten på 45 med den här metoden. Vi vet att 45 × 5 och vi vet att under 9 = 3 × 3. Således kan vi skriva vår kvadratrot i termer av följande faktorer: Sqrt (3 × 3 × 5). Ta bara bort båda tre och lägg en 3 utanför kvadratroten för att förenkla din kvadratrot till sin enklaste form: (3) Rot (5).

  Härifrån kommer vi att vara lätta att uppskatta.

• Som ett sista exempelproblem, låt oss försöka hitta kvadratroten på 88:

  • Rot (88)
  • = Rot (2 × 44)
  • = Rot (2 × 4 × 11)
  • = Rot (2 × 2 × 2 × 11). Vi har ungefär två i vår kvadratrot. Eftersom 2 är ett primtal kan vi ta bort ett par 2: or och lägga en av dem utanför kvadratroten.

  • = Vår kvadratrot i sin enklaste form är (2) Sqrt (2 × 11) eller (2) Rot (2) Rot (11).

    Härifrån kan vi uppskatta Sqrt (2) och Sqrt (11) och hitta det ungefärliga svaret som vi vill.

Metod 2 av 2: Hitta kvadratroten manuellt

Använda Long Division -algoritmen

Steg 1. Dela siffrorna i ditt nummer i par

Denna metod använder en process som liknar lång division för att hitta den exakta kvadratrotsiffran för siffra. Även om det inte är obligatoriskt kan du ha lättare att utföra denna process om du visuellt organiserar din arbetsplats och dina nummer i lättanvända delar. Rita först en vertikal linje som delar ditt arbetsområde i två sektioner och dra sedan en kortare horisontell linje nära uppe till höger för att dela den högra sektionen i en mindre övre sektion och en större botten. Dela sedan dina siffror i par, med början på decimalpunkten. Till exempel, efter denna regel, blir 79 520 789 182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Skriv ditt nummer längst upp till vänster.

Låt oss till exempel försöka beräkna kvadratroten på 780, 14. Rita två linjer för att dela din arbetsplats enligt ovan och skriv "7 80. 14" uppe till vänster. Det spelar ingen roll om det längst till vänster är ett enda tal, och inte ett par nummer. Du kommer att skriva ditt svar (kvadratrot 780, 14) högst upp till höger

Steg 2. Hitta det största heltalet vars fyrkantiga värde är mindre än eller lika med antalet (eller parpar) längst till vänster

Börja längst till vänster om ditt nummer, både nummerpar och singelnummer. Hitta den största perfekta kvadraten som är mindre än eller lika med detta tal, och hitta sedan kvadratroten på denna perfekta kvadrat. Detta nummer är n. Skriv n uppe till höger och skriv kvadraten med n i den nedre högra kvadranten.

I vårt exempel är längst till vänster siffran 7. Eftersom vi vet att 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9 kan vi säga att n = 2 eftersom 2 är det största heltalet vars kvadratiska värde är mindre än eller lika med 7. Skriv 2 i den övre högra kvadranten. Detta är den första siffran i vårt svar. Skriv 4 (kvadratvärdet 2) i den nedre högra kvadranten. Detta nummer är viktigt för nästa steg.

Steg 3. subtrahera det tal du just beräknade från paret längst till vänster

Som med lång delning är nästa steg att subtrahera värdet på kvadraten vi just hittade från den del vi just analyserade. Skriv detta nummer under den första delen och subtrahera det, skriv ditt svar under det.

• I vårt exempel skriver vi 4 under 7 och subtraherar sedan. Denna subtraktion ger ett svar

  Steg 3..

Steg 4. Släpp nästa par

Flytta ner nästa avsnitt av numret som du letar efter kvadratroten bredvid det subtraktionsvärde du just hittat. Multiplicera sedan talet i den övre högra kvadranten med två och skriv svaret i den nedre högra kvadranten. Bredvid det nummer du just skrev ner, lämna ett utrymme för multiplikationsproblemet du kommer att göra i nästa steg genom att skriva '"_ × _ ="'.

I vårt exempel är nästa par av våra nummer "80". Skriv "80" bredvid 3 i den vänstra kvadranten. Multiplicera sedan talet högst upp till höger med två. Detta nummer är 2, så 2 × 2 = 4. Skriv "" 4 "" i den nedre högra kvadranten, följt av _×_=.

Steg 5. Fyll i ämnena i den högra kvadranten

Du måste fylla i alla ämnen du just skrivit i rätt kvadrant med samma heltal. Detta heltal måste vara det största heltalet som gör produkten i den högra kvadranten mindre än eller lika med numret för närvarande till vänster.

I vårt exempel fyller vi i ämnena med 8, vilket resulterar i 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Detta värde är större än 384. Således är 8 för stort, men 7 kan fungera. Skriv 7 i ämnena och lös: 4 (7) × 7 = 329. 7 är ett korrekt tal eftersom 329 är mindre än 380. Skriv 7 i den övre högra kvadranten. Detta är den andra siffran i kvadratroten på 780, 14

Steg 6. subtrahera det tal du just beräknade från numret nu till vänster

Fortsätt med subtraktionskedjan med hjälp av long division -metoden. Ta produkten av problemet i den högra kvadranten och subtrahera den från numret som nu finns till vänster, medan du skriver dina svar nedan.

I vårt exempel kommer vi att subtrahera 329 från 380, vilket ger resultatet 51.

Steg 7. Upprepa steg 4

Härled nästa del av numret som du letar efter kvadratroten för. När du når decimalpunkten i ditt tal, skriv decimalpunkten i ditt svar i den övre högra kvadranten. Multiplicera sedan talet högst upp till höger med 2 och skriv det bredvid det tomma multiplikationsproblemet ("_ × _") enligt ovan.

I vårt exempel, eftersom vi nu har att göra med decimalpunkten i 780, 14, skriver du decimalpunkten efter vårt nuvarande svar uppe till höger. Sänk sedan nästa par (14) i vänster kvadrant. Två gånger är talet i det övre högra (27) lika med 54, så skriv "54 _ × _ =" i den nedre högra kvadranten

Steg 8. Upprepa steg 5 och 6

Hitta den största siffran för att fylla i ämnena till höger, vilket ger ett svar som är mindre än eller lika med numret till vänster. Lös sedan problemet.

I vårt exempel är 549 × 9 = 4941, vilket är mindre än eller lika med talet till vänster (5114). 549 × 10 = 5490 är för stort, så 9 är ditt svar. Skriv 9 som nästa siffra i övre högra kvadranten och subtrahera produkten från siffran till vänster: 5114 minus 4941 är 173

Steg 9. För att fortsätta räkna siffrorna sänker du nollparet till vänster och upprepar steg 4, 5 och 6

För större noggrannhet, fortsätt denna process för att hitta hundratals, tusentals och fler platser i ditt svar. Fortsätt använda denna cykel tills du hittar den decimal som du vill ha.

Förstå processen

Steg 1. Tänk dig det tal du beräknade kvadratroten på som arean S på en kvadrat

Eftersom arean på en kvadrat är P² där P är längden på en av sidorna, sedan genom att försöka hitta kvadratroten på ditt tal, försöker du faktiskt beräkna längden P på den sidan av rutan.

Steg 2. Bestäm bokstavsvariablerna för varje siffra i ditt svar

Ställ in variabeln A som den första siffran i P (kvadratroten vi försöker beräkna). B blir den andra siffran, C den tredje siffran och så vidare.

Steg 3. Bestäm bokstavsvariablerna för varje del av ditt startnummer

Ställ in variabel S_a för det första paret med siffror i S (ditt initialvärde), S_b för det andra paret med siffror etc.

Steg 4. Förstå sambandet mellan denna metod och lång division

Denna metod för att hitta kvadratroten är i grunden ett långt divisionsproblem som delar ditt initialt tal med kvadratroten, vilket ger dig svaret på kvadratroten. Precis som i långdivisionsproblemet är du bara intresserad av nästa siffra i varje steg. På detta sätt är du bara intresserad av de två nästa siffrorna i varje steg (vilket är nästa siffra i varje steg för kvadratroten).

Steg 5. Hitta det största talet vars kvadratiska värde är mindre än eller lika med S_a.

Den första siffran i A i vårt svar är det största heltalet vars kvadratiska värde inte överstiger S_a (dvs A så att A² Sa <(A+1) ²). I vårt exempel, S_a = 7, och 2² 7 <3², så A = 2.

Observera att till exempel, om du ville dela 88962 med 7 med lång division, är de första stegen i stort sett desamma: du kommer att se den första siffran på 88962 (som är 8) och du letar efter den största siffran som, multiplicerat med 7, är mindre än eller lika med 8 I grund och botten letar du efter d så att 7 × d 8 <7 × (d+1). I detta fall är d lika med 1

Steg 6. Föreställ dig värdet på torget vars område du ska börja arbeta med

Ditt svar, kvadratroten i ditt startnummer, är P, som beskriver kvadratlängden med område S (ditt startnummer). Dina betyg för A, B, C representerar siffrorna i värdet P. Ett annat sätt att säga detta är 10A + B = P (för ett tvåsiffrigt svar), 100A + 10B + C = P (för ett tre- siffersvar), etc.

I vårt exempel, (10A+B) ² = P² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Kom ihåg att 10A+B representerar vårt svar, P, med B i enläget och A i tiotalet. Till exempel, med A = 1 och B = 2, är 10A+B lika med 12. (10A+B) ² är den totala ytan av torget, medan 100A² är området för det största torget i det, B² är ytan på det minsta torget i det, och 10A × B är området för de två återstående rektanglarna. Genom att göra denna långa och krångliga process, hittar vi den totala ytan av en kvadrat genom att lägga ihop ytorna på rutorna och rektanglarna inuti.

Steg 7. Subtrahera A² från S_a.

Minska ett par siffror (S_b) av S. Värde på S_a S_b nära kvadratens totala yta, som du precis använde för att subtrahera det större inre torget. Resten kan ses som siffran N1, som vi fick i steg 4 (N1 = 380 i vårt exempel). N1 är lika med 2 & gånger: 10A × B + B² (arean på de två rektanglarna plus arean på den mindre kvadraten).

Steg 8. Hitta N1 = 2 × 10A × B + B², som också skrivs som N1 = (2 × 10A + B) × B

I vårt exempel vet du redan N1 (380) och A (2), så du måste hitta B. B är troligen inte ett helt tal, så du måste verkligen hitta det största heltalet B så att (2 × 10A + B) × B N1. Så du har: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

Steg 9. Avsluta

För att lösa denna ekvation, multiplicera A med 2, flytta resultatet till positionen tio (motsvarigheten att multiplicera med 10), sätt B i enläget och multiplicera talet med B. Med andra ord lösa (2 × 10A + B) × B. Detta är precis vad du gör när du skriver "N_ × _ =" (med N = 2 × A) i den nedre högra kvadranten i steg 4. I steg 5 hittar du det största heltalet B som motsvarar talet nedanför så att (2 × 10A + B) × B N1.

Steg 10. Subtrahera ytan (2 × 10A + B) × B från den totala ytan

Denna subtraktion resulterar i området S- (10A+B) ² som inte har beräknats (och som kommer att användas för att beräkna nästa siffra på samma sätt).

Steg 11. För att beräkna nästa siffra, C, upprepa processen

Sänk nästa par (S_c) av S för att få N2 till vänster och hitta det största C så att du har (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (motsvarar att skriva två gånger det tvåsiffriga talet”AB” följt av "_ × _ =". Hitta den största matchande siffran i ämnena, vilket ger ett svar som är mindre än eller lika med N2, som tidigare.

Tips

• Att flytta en decimal med en multipel av två siffror i ett tal (en multipel av 100) betyder att flytta en decimal med en multipel av en siffra i kvadratroten (en multipel av 10).
• I detta exempel kan 1,73 betraktas som en "rest": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
• Denna metod kan användas för valfri bas, inte bara bas 10 (decimal).
• Du kan använda en kalkyl som är bekvämare för dig. Vissa skriver resultatet ovanför det initiala numret.
• Ett alternativt sätt att använda upprepade fraktioner är att följa denna formel: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Till exempel, för att beräkna kvadratroten på 780, 14, är heltalet vars fyrkantiga värde är närmast 780, 14 28, så z = 780, 14, x = 28 och y = -3, 86. Ange värden och beräkningar av uppskattningar endast för x + y/(2x) ger (i enklaste termer) 78207/20800 eller cirka 27, 931 (1); nästa termin, 4374188/156607 eller cirka 27, 930986 (5). Varje term lägger till cirka 3 decimaler till noggrannheten i det tidigare antalet decimaler.

Varning

Var noga med att dela siffrorna i par som börjar med decimalpunkten. Delar 79 520 789 182, 47897 i "79 52 07 89 18 2, 4 78 97 "returnerar ett värdelöst nummer.