3 sätt att förenkla algebraiska uttryck

2024 Författare: Jason Gerald | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-15 08:24

Att lära sig att förenkla algebraiska uttryck är en av nycklarna till att behärska grundläggande algebra och det mest användbara verktyget någon matematiker behöver ha. Förenkling gör att matematiker kan konvertera komplexa, långa och/eller udda uttryck till enklare eller lättare likvärdiga uttryck. Grundläggande förenklingskunskaper är mycket lätta att lära sig - även för dem som hatar matte. Genom att följa några enkla steg är det möjligt att förenkla många av de vanligaste typerna av algebraiska uttryck, utan att använda någon särskild kunskap om matematik. Kolla in steg 1 för att komma igång!

Steg

Förstå viktiga begrepp

Steg 1. Gruppera termer enligt deras variabler och krafter

I algebra har liknande termer samma variabelkonfiguration, med samma effekt. Med andra ord, för att två termer ska vara lika måste de ha samma variabel, eller ingen variabel alls, och varje variabel har samma effekt eller ingen exponent. Variablernas ordning i termer är inte viktig.

Till exempel 3x² och 4x² är som termer eftersom de båda har en variabel x med kvadratens kraft. Men x och x² är inte som termer eftersom varje term har en variabel x med en annan effekt. Nästan samma, -3yx och 5xz är inte liknande termer eftersom varje term har en annan variabel.

Steg 2. Faktor genom att skriva numret som produkten av de två faktorerna

Factoring är konceptet att skriva ner ett givet tal som en produkt av två faktorer som multipliceras. Tal kan ha mer än en uppsättning faktorer - till exempel kan 12 erhållas från 1 × 12, 2 × 6 och 3 × 4, så vi kan säga att 1, 2, 3, 4, 6 och 12 är faktorer av 12 Ett annat sätt att föreställa sig det är att faktorerna för ett tal är de tal som delar hela talet.

• Om vi till exempel vill faktor 20 kan vi skriva det som 4 × 5.
• Observera att variabla termer också kan räknas in. -20x, till exempel, kan skrivas som 4 (5x).
• Primtal kan inte räknas in eftersom de bara kan delas upp av sig själva och 1.

Steg 3. Använd förkortningen KaPaK BoTaK för att komma ihåg ordningsföljden

Ibland löser förenkling av ett uttryck helt enkelt operationen i ekvationen tills den inte längre fungerar. I dessa fall är det mycket viktigt att komma ihåg ordningsföljden så att inga aritmetiska fel uppstår. Förkortningen KaPaK BoTaK hjälper dig att komma ihåg operationsordningen - bokstäverna anger vilka typer av operationer du ska utföra, i ordningen:

• Kmisslyckas
• Phiss
• Kali
• Bpå nytt
• TLägg till
• Kräka

Metod 1 av 3: Slå ihop liknande villkor

Steg 1. Skriv ner din ekvation

De enklaste algebraiska ekvationerna, som endast innefattar några variabla termer med heltalskoefficienter och inga fraktioner, rötter, etc., kan ofta lösas i bara några få steg. För de flesta matematiska problem är det första steget för att förenkla din ekvation att skriva ner den!

Som ett exempelproblem använder vi uttrycket för de närmaste stegen 1 + 2x - 3 + 4x.

Steg 2. Identifiera liknande stammar

Leta sedan efter liknande termer i din ekvation. Kom ihåg att liknande termer har samma variabel och exponent.

Till exempel, låt oss identifiera liknande termer i vår ekvation 1 + 2x - 3 + 4x. 2x och 4x har båda samma variabel med samma effekt (i detta fall har x ingen exponent). Dessutom är 1 och -3 liknande termer eftersom de inte har några variabler. Så i vår ekvation, 2x och 4x och 1 och -3 är liknande stammar.

Steg 3. Kombinera liknande termer

Nu när du har identifierat liknande termer kan du kombinera dem för att förenkla din ekvation. Lägg till termerna (eller subtrahera vid negativa termer) för att minska uppsättningen termer med samma variabel och exponent till en lika term.

• Låt oss lägga till liknande termer i vårt exempel.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Steg 4. Skapa en enklare ekvation utifrån de förenklade termerna

Efter att du har kombinerat dina liknande termer gör du en ekvation från den nya, mindre uppsättningen termer. Du får en enklare ekvation, som har en term för de olika uppsättningarna variabler och krafter i den ursprungliga ekvationen. Denna nya ekvation motsvarar den ursprungliga ekvationen.

I vårt exempel är våra förenklade termer 6x och -2, så vår nya ekvation är 6x - 2. Denna enkla ekvation motsvarar originalet (1 + 2x - 3 + 4x), men kortare och lättare att arbeta med. Det är också lättare att faktorera, vilket vi kommer att titta på nedan, vilket är en annan viktig förenklingskunskap.

Steg 5. Följ arbetsordningen när du kombinerar liknande termer

I mycket enkla ekvationer som den vi arbetade med i exemplet ovan är det enkelt att identifiera liknande termer. Men i mer komplexa ekvationer, såsom uttryck som involverar parentetiska termer, fraktioner och rötter, är liknande termer som kan kombineras inte tydligt synliga. I dessa fall följer du ordningsföljden, utför operationer på termerna i ditt uttryck efter behov tills additions- och subtraktionsoperationerna återstår.

• Till exempel, låt oss använda ekvationen 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Det vore fel att omedelbart betrakta 3x och 2x som liknande termer och kombinera dem eftersom parenteserna i uttrycket indikerar att vi måste göra andra operationer först. Först utför vi aritmetiska operationer på uttrycket i ordningsföljden för att få termer som vi kan använda. Se följande:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Eftersom de enda återstående operationerna är addition och subtraktion kan vi kombinera liknande termer.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Metod 2 av 3: Factoring

Steg 1. Identifiera den största gemensamma faktorn i uttrycket

Factoring är ett sätt att förenkla ett uttryck genom att ta bort de faktorer som är desamma i alla termer i uttrycket. För att börja, hitta den största gemensamma faktorn som alla termer har - med andra ord det största antalet som delar alla termer i uttrycket hel.

• Låt oss använda ekvationen 9x² + 27x - 3. Lägg märke till att varje term i denna ekvation är delbar med 3. Eftersom termerna inte är delbara med något större antal kan vi säga att

  Steg 3. är vår största gemensamma faktor.

Steg 2. Dela termerna i uttrycket med den största gemensamma faktorn

Dela sedan varje term i din ekvation med den största gemensamma faktorn du just hittat. Kvottermerna kommer att ha en mindre koefficient än den ursprungliga ekvationen.

• Låt oss faktorera vår ekvation med dess största gemensamma faktor, 3. För att göra detta delar vi varje term med 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Således är vårt nya uttryck 3x² + 9x - 1.

Steg 3. Skriv ditt uttryck som produkten av den största gemensamma faktorn multiplicerat med de återstående termerna

Ditt nya uttryck motsvarar inte ditt ursprungliga uttryck, så det skulle vara felaktigt att säga att uttrycket har förenklats. För att göra vårt nya uttryck lika med originalet måste vi inkludera det faktum att vårt uttryck har delats med den största gemensamma faktorn. Bifoga ditt nya uttryck inom parentes och skriv den största gemensamma faktorn för den ursprungliga ekvationen som uttryckskoefficienten inom parentes.

För vårt exempel ekvation, 3x² + 9x - 1, vi kan omsluta uttrycket inom parentes och multiplicera det med den största gemensamma faktorn för den ursprungliga ekvationen för att få 3 (3x² + 9x - 1). Denna ekvation motsvarar den ursprungliga ekvationen, 9x² +27x - 3.

Steg 4. Använd factoring för att förenkla fraktioner

Du kanske nu undrar varför factoring används, även om det nya uttrycket måste multipliceras med den faktorn även efter att du har tagit bort den största gemensamma faktorn. Faktum är att factoring tillåter matematiker att utföra olika knep för att förenkla uttryck. Ett av hans enklaste knep drar fördel av det faktum att multiplicering av täljare och nämnare för en bråkdel med samma tal kan ge ekvivalenta bråk. Se följande:

• Säg vårt första exempeluttryck, 9x² + 27x - 3, är kvantifieraren för den större fraktionen med 3 som täljare. Fraktionen kommer att se ut så här: (9x² + 27x - 3)/3. Vi kan använda factoring för att förenkla bråk.

  • Låt oss ersätta factoringformen för vårt ursprungliga uttryck med uttrycket i täljaren: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Lägg märke till att både täljaren och nämnaren har en koefficient på 3. Genom att dela täljaren och nämnaren med 3 får vi: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Eftersom varje bråkdel med en nämnare 1 är ekvivalent med termerna i täljaren kan vi säga att vår initiala bråk kan förenklas till 3x² + 9x - 1.

Metod 3 av 3: Tillämpa ytterligare förenklingskunskaper

Steg 1. Förenkla fraktioner genom att dividera med samma faktorer

Som nämnts ovan, om täljaren och nämnaren för en ekvation har samma faktorer, kan dessa faktorer helt utelämnas i fraktionen. Ibland kommer det att kräva factoring i täljaren, nämnaren eller båda (som är fallet i exemplet ovan) medan ibland samma faktorer ofta är uppenbara. Observera att det också är möjligt att dela täljarens termer med ekvationen i nämnaren en efter en för att få ett enkelt uttryck.

• Låt oss arbeta med ett exempel som inte kräver factoring. För fraktioner (5x² + 10x + 20)/10, kan vi dela varje term i täljaren med 10 för att förenkla, även om koefficienten är 5 i 5x² är inte större än 10 och därför är 10 inte en faktor.

  Om vi gör det får vi ((5x²)/10) + x + 2. Om vi ville skulle vi kunna skriva om den första termen som (1/2) x² så vi får (1/2) x² +x+2.

Steg 2. Använd de kvadrerade faktorerna för att förenkla rötterna

Uttrycket under rottecknet kallas rotuttrycket. Detta uttryck kan förenklas genom att identifiera kvadratfaktorerna (faktorer som är kvadrater med heltal) och utföra kvadratrotsoperationen separat för att ta bort dem från kvadratrottecknet.

• Låt oss göra ett enkelt exempel - (90). Om vi tänker på 90 som en produkt av dess två faktorer, 9 och 10, kan vi ta kvadratroten av 9 som är heltalet 3 och ta bort det från radikaltecknet. Med andra ord:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Steg 3. Lägg till exponenter när du multiplicerar två exponenter; subtrahera vid delning

Vissa algebraiska uttryck kräver multiplikation eller delning av maktbegrepp. Istället för att beräkna eller dela varje exponent manuellt lägger du bara till exponenterna när du multiplicerar och subtraherar när du delar för att spara tid. Detta koncept kan också användas för att förenkla variabla uttryck.

• Till exempel, låt oss använda uttrycket 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). I alla händelser där multiplikation eller division av exponenter krävs kommer vi att subtrahera eller lägga till exponenter för att snabbt hitta den enkla termen. Se följande:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• För en förklaring av hur det fungerar, se nedan:

  • Att multiplicera termer i exponenter är faktiskt som att multiplicera termer inte i långa exponenter. Till exempel eftersom x³ = x × x × x och x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) eller x⁸.
  • Nästan samma sak, att dela upp exponenter är som att dela termer, inte långa exponenter. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Eftersom varje term i täljaren kan streckas genom att hitta samma term i nämnaren finns det bara två x: or kvar i täljaren och inget kvar längst ner, vilket ger svaret x².

Tips

• Kom alltid ihåg att du måste föreställa dig att dessa siffror har positiva och negativa tecken. Många slutar tänka på vilket tecken jag ska sätta här?
• Be om hjälp om du behöver det!
• Att förenkla algebraiska uttryck är inte lätt, men när du väl förstår det kommer du att använda det resten av ditt liv.

Varning

• Leta alltid efter liknande stammar och låt dig inte luras av rang.
• Se till att du inte lägger till siffror, befogenheter eller operationer som inte ska vara av misstag.