Att slutföra rutor är en användbar teknik för att hjälpa dig att sätta kvadratiska ekvationer i en snygg form, vilket gör dem lätta att se eller till och med lösa. Du kan slutföra rutor för att bygga mer komplexa kvadratiska formler eller till och med lösa kvadratiska ekvationer. Om du vill veta hur du gör det följer du dessa steg.
Steg
Del 1 av 2: Konvertering av vanliga ekvationer till kvadratiska funktioner
Steg 1. Skriv ner ekvationen
Antag att du vill lösa följande ekvation: 3x2 - 4x + 5.
Steg 2. Ta ut koefficienterna för de kvadratiska variablerna från de två första delarna
För att få nummer 3 ur de två första delarna, ta bara ut siffran 3 och lägg den utanför parenteserna, dela varje del med 3. 3x2 dividerat med 3 är x2 och 4x dividerat med 3 är 4/3x. Så den nya ekvationen blir: 3 (x2 - 4/3x) + 5. Talet 5 förblir utanför ekvationen eftersom det inte divideras med talet 3.
Steg 3. Dela den andra delen med 2 och kvadrera den
Den andra delen eller det som kallas b i ekvationen är 4/3. Dela med två. 4/3 2, eller 4/3 x 1/2, motsvarar 2/3. Kvadrera nu detta avsnitt genom att kvadrera bråkets täljare och nämnare. (2/3)2 = 4/9. Skriv ner det.
Steg 4. Lägg till och subtrahera dessa delar från ekvationen
Du behöver denna extra del för att få ekvationen tillbaka till ett perfekt torg. Du måste dock subtrahera dem från resten av ekvationen för att lägga till dem. Även om det ser ut som om du går tillbaka till din ursprungliga ekvation. Din ekvation ser ut så här: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Steg 5. Ta bort den del du dragit från parenteserna
Eftersom du har en koefficient på 3 utanför parenteserna kan du inte bara mata ut -4/9. Du måste multiplicera det med 3 först. -4/9 x 3 = -12/9 eller -4/3. Om du har en koefficient på 1 i avsnittet x2, då kan du hoppa över det här steget.
Steg 6. Ändra delen i parenteserna till en perfekt fyrkant
Nu finns det 3 (x2 -4/3x +4/9) inom parentes. Du har redan försökt få 4/9, vilket faktiskt är ett annat sätt att slutföra torget. Så du kan skriva om det som: 3 (x - 2/3)2. Allt du behöver göra är att dela upp den andra halvan och eliminera den tredje. Du kan kontrollera ditt arbete genom att multiplicera det och komma med de tre första delarna av ekvationen.
-
3 (x - 2/3)2 =
Slutför kvadratsteg 6Bullet1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4/3x + 4/9)
Steg 7. Kombinera konstanterna
Nu finns det två konstanter eller tal som inte har några variabler. Nu har du 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Allt du behöver göra är att lägga till -4/3 och 5 för att få 11/3. Du lägger till dem genom att jämföra nämnare: -4/3 och 15/3 och sedan lägga till siffrorna så att du får 11 och lämnar nämnaren 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Slutför kvadratsteg 7Bullet1
Steg 8. Skriv ekvationen i kvadratisk form
Du har gjort. Den slutliga ekvationen är 3 (x - 2/3)2 +11/3. Du kan eliminera koefficienten 3 genom att dela båda sidorna av ekvationen för att få (x - 2/3)2 +11/9. Du har framgångsrikt skrivit ekvationen i kvadratisk form, nämligen a (x - h)2 +k, där k representerar en konstant.
Del 2 av 2: Lösa kvadratiska ekvationer
Steg 1. Skriv ner frågorna
Antag att du vill lösa följande ekvation: 3x2 + 4x + 5 = 6
Steg 2. Kombinera befintliga konstanter och placera dem på ekvatorns vänstra sida
En konstant är ett tal som inte har en variabel. I detta problem är konstanten 5 till vänster och 6 till höger. Om du vill flytta 6 till vänster måste du subtrahera båda sidorna av ekvationen med 6. Resten är 0 på höger sida (6-6) och -1 på vänster sida (5-6). Ekvationen blir: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Steg 3. Mata ut koefficienten för den kvadratiska variabeln
I detta problem är 3 koefficienten för x2. För att få nummer 3, ta bara ut siffran 3 och dela varje del med 3. Så, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x och 1 3 = 1/3. Ekvationen blir: 3 (x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Steg 4. Dela med den konstant du just extraherade
Detta innebär att du kan ta bort koefficienten 3. Eftersom du redan har delat varje del med 3 kan du ta bort talet 3 utan att påverka ekvationen. Din ekvation blir x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Steg 5. Dela den andra delen med 2 och kvadrera den
Ta sedan den andra delen, 4/3 eller del b, och dela den med 2. 4/3 2 eller 4/3 x 1/2, lika med 4/6 eller 2/3. Och 2/3 i kvadrat till 4/9. När du har kvadrat det måste du skriva det på vänster och höger sida av ekvationen eftersom du lägger till en ny del. Du måste skriva det på båda sidor för att balansera det. Ekvationen blir x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Steg 6. Flytta initialkonstanten till höger sida av ekvationen och lägg till den i kvadraten i ditt tal
Flytta initialkonstanten, -1/3, åt höger, vilket gör den till 1/3. Lägg till kvadraten med ditt nummer, 4/9 eller 2/32. Hitta en gemensam nämnare för att lägga till 1/3 och 4/9 genom att multiplicera de övre och nedre fraktionerna med 1/3 med 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Lägg nu till 3/9 och 4/9 för att få 7/9 på höger sida av ekvationen. Ekvationen blir: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 sedan x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Steg 7. Skriv ner den vänstra sidan av ekvationen som en perfekt kvadrat
Eftersom du redan har använt formeln för att hitta den saknade biten har den hårda delen hoppats över. Allt du behöver göra är att sätta x och halva värdet av den andra koefficienten inom parentes och kvadrera den, till exempel: (x + 2/3)2. Observera att factoring av ett perfekt torg kommer att ge tre delar: x2 + 4/3 x + 4/9. Ekvationen blir: (x + 2/3)2 = 7/9.
Steg 8. Kvadratrot på båda sidor
På ekvatorns vänstra sida är kvadratroten av (x + 2/3)2 är x + 2/3. På höger sida av ekvationen får du +/- (√7)/3. Kvadratroten på nämnaren 9 är 3 och kvadratroten 7 är 7. Kom ihåg att skriva +/- eftersom kvadratroten kan vara positiv eller negativ.
Steg 9. Flytta variablerna
För att flytta variabeln x, flytta bara konstanten 2/3 till ekvatorns högra sida. Nu har du två möjliga svar för x: +/- (√7)/3 - 2/3. Detta är dina två svar. Du kan låta den vara ifred eller hitta värdet på kvadratroten på 7 om du måste skriva ett svar utan en kvadratrot.
Tips
- Var noga med att skriva +/- på rätt plats, annars får du bara ett svar.
- Även när du känner till den kvadratiska formeln, öva på att fylla i rutan regelbundet antingen genom att bevisa den kvadratiska formeln eller lösa några problem. På så sätt kommer du inte att glömma metoden när du behöver den.
