Detta är en artikel om hur man faktorerar ett kubpolynom. Vi kommer att utforska hur man faktorerar med hjälp av grupperingar såväl som att använda faktorer från oberoende termer.
Steg
Metod 1 av 2: Factoring genom gruppering
Steg 1. Gruppera polynomet i två delar
Genom att gruppera ett polynom i två halvor kan du bryta varje del separat.
Antag att vi använder ett polynom: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Dela upp i (x3 + 3x2) och (- 6x - 18).
Steg 2. Hitta de faktorer som är desamma i varje avsnitt
- Från (x3 + 3x2), kan vi se samma faktor är x2.
- Från (- 6x - 18) kan vi se lika faktor är -6.
Steg 3. Ta ut lika faktorer ur båda termerna
- Ta ut faktor x2 från första delen får vi x2(x + 3).
- Tar vi faktor -6 ur den andra delen får vi -6 (x + 3).
Steg 4. Om var och en av de två termerna har samma faktor kan du kombinera faktorerna tillsammans
Du får (x + 3) (x2 - 6).
Steg 5. Hitta svaret genom att titta på ekvationens rötter
Om du har x2 vid ekationens rötter, kom ihåg att både positiva och negativa tal kommer att tillfredsställa ekvationen.
Svaren är -3, 6 och -√6
Metod 2 av 2: Factoring med hjälp av gratisvillkor
Steg 1. Ordna om ekvationen till formen aX3+bX2+cX+d.
Antag att vi använder ett polynom: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Steg 2. Hitta alla faktorer för "d"
Konstanten "d" är ett tal som inte har några variabler, till exempel "x", bredvid det.
Faktorer är tal som kan multipliceras tillsammans för att få ett annat tal. I detta fall är faktorerna 10, som är "d": 1, 2, 5 och 10
Steg 3. Hitta en faktor som gör polynomet lika med noll
Vi måste bestämma vilka faktorer som gör polynomet lika med noll när vi ersätter faktorer i varje "x" i ekvationen.
-
Börja med den första faktorn, som är 1. Ersätt "1" för varje "x" i ekvationen:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Du får: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Eftersom 0 = 0 är ett sant påstående vet du att x = 1 är svaret.
Steg 4. Gör några inställningar
Om x = 1 kan du ordna om påståendet så att det ser lite annorlunda ut utan att ändra dess betydelse.
"x = 1" är detsamma som "x - 1 = 0". Du subtraherar bara med "1" från varje sida av ekvationen
Steg 5. Ta rotfaktorn för ekvationen från resten av ekvationen
"(x - 1)" är roten till ekvationen. Kontrollera om du kan ta bort resten av ekvationen. Ta ut polynomen en efter en.
- Kan du räkna ut (x - 1) från x3? Nej. Men du kan låna -x2 av den andra variabeln, så kan du faktorera det: x2(x - 1) = x3 - x2.
- Kan du faktorera (x - 1) av resten av den andra variabeln? Nej. Du måste låna lite från den tredje variabeln. Du måste låna 3x från -7x. Detta ger resultatet -3x (x -1) = -3x2 + 3x.
- Eftersom du tog 3x från -7x blir den tredje variabeln -10x och konstanten är 10. Kan du faktorera det? ja! -10 (x -1) = -10x + 10.
- Det du gör är att ställa in variabeln så att du kan räkna ut (x - 1) från hela ekvationen. Du ordnar om ekvationen till något så här: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, men ekvationen är fortfarande lika med x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Steg 6. Fortsätt att ersätta faktorer av den oberoende termen
Titta på numret du tog med (x - 1) i steg 5:
- x2(x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Du kan ordna om det för att göra det lättare att faktorera igen: (x - 1) (x2 - 3x - 10) = 0.
- Här behöver du bara faktor (x2 - 3x - 10). Resultatet av factoring är (x + 2) (x - 5).
Steg 7. Ditt svar är de fakturerade rötterna i ekvationen
Du kan kontrollera om ditt svar är korrekt genom att ansluta varje svar separat till den ursprungliga ekvationen.
- (x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0. Detta ger svaren 1, -2 och 5.
- Anslut -2 till ekvationen: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Anslut 5 till ekvationen: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Tips
- Det finns inget kubpolynom som inte kan räknas med reella tal eftersom varje kub alltid har en riktig rot. Ett kubpolynom som x3 + x + 1 som har en irrationell verklig rot kan inte räknas in i ett polynom med heltal eller rationella koefficienter. Även om det kan räknas med kubformeln, kan det inte reduceras som ett heltalspolynom.
- Ett kubpolynom är en produkt av tre polynom med en eller en polynoms produkt till en och en polynom med två som inte kan räknas in. För situationer som den senare använder du lång division efter att ha hittat det första effektpolynomet för att få det andra effektpolynomet.
