Hur man härleder implicit funktioner: 7 steg (med bilder)

2024 Författare: Jason Gerald | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-19 22:14

I kalkyl, när du har en ekvation för y skriven i formen x (t.ex. y = x² -3x), är det enkelt att använda grundläggande härledningstekniker (av matematiker kallade implicit funktionsderivat tekniker) för att hitta derivatet. För ekvationer som är svåra att konstruera med endast y -termen på ena sidan av likhetstecknet (t.ex.x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19) behövs ett annat tillvägagångssätt. Med en teknik som kallas implicita funktionsderivat är det lätt att hitta derivat av multivariabla ekvationer så länge du känner till grunderna i explicita funktionsderivat!

Steg

Metod 1 av 2: Hämta enkla ekvationer snabbt

Steg 1. Avled x -termerna som vanligt

När du försöker härleda en multivariabel ekvation som x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, kan det vara svårt att veta var du ska börja. Lyckligtvis är det första steget i derivatet av en implicit funktion det enklaste. Avled bara x-termerna och konstanterna på båda sidor av ekvationen enligt reglerna för vanliga (uttryckliga) derivat till att börja med. Ignorera y-termerna tills vidare.

• Låt oss försöka härleda ett exempel på den enkla ekvationen ovan. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 har två termer x: x² och -5x. Om vi vill härleda en ekvation måste vi göra detta först, så här:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Ta ner till effekten 2 i x² som koefficient, ta bort x i -5x och ändra 19 till 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Steg 2. Avled y -termerna och lägg till (dy/dx) bredvid varje term

För ditt nästa steg, härled bara y -termerna på samma sätt som du härledde x -termerna. Den här gången lägger du till (dy/dx) bredvid varje term som du skulle lägga till koefficienter. Om du till exempel sänker y², då blir derivatet 2y (dy/dx). Ignorera termerna som har x och y för tillfället.

• I vårt exempel ser vår ekvation nu ut så här: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Vi kommer att utföra nästa steg med att härleda y enligt följande:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Ta ner till kraften 2 i y² som koefficienter, ta bort y i 8y och sätt dy/dx bredvid varje term).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Steg 3. Använd produktregeln eller kvotregeln för termer som har x och y

Att arbeta med termer som har x och y är lite knepigt, men om du känner till reglerna för produkten och kvoten för derivat hittar du det enkelt. Om termerna x och y multipliceras använder du produktregeln ((f × g) '= f' × g + g × f '), ersätter x -termen med f och y -termen med g. Å andra sidan, om termerna x och y utesluter varandra, använd kvotregeln ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), ersätter täljaren med f och nämnaren med g.

• I vårt exempel 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0 har vi bara en term som har x och y - 2xy². Eftersom x och y multipliceras med varandra använder vi produktregeln för att härleda följande:

  2xy² = (2x) (y²)- ställ in 2x = f och y² = g i (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2 år² + 4xy (dy/dx)

• Om vi lägger till detta i vår huvudekvation får vi 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

Steg 4. Ensam (dy/dx)

Du är nästan klar! Allt du behöver göra är att lösa ekvationen (dy/dx). Detta verkar svårt, men det är vanligtvis inte - kom ihåg att två termer a och b multipliceras med (dy/dx) kan skrivas som (a + b) (dy/dx) på grund av multiplikationens distributiva egenskap. Denna taktik kan göra det lättare att isolera (dy/dx) - bara flytta alla andra termer på andra sidan parentesen, dividera sedan med termerna inom parenteserna bredvid (dy/dx).

• I vårt exempel förenklar vi 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 enligt följande:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metod 2 av 2: Använda avancerade tekniker

Steg 1. Ange värdet (x, y) för att hitta (dy/dx) för valfri punkt

Säker! Du har redan härlett din ekvation implicit - inte ett lätt jobb på första försöket! Att använda denna ekvation för att hitta gradienten (dy/dx) för valfri punkt (x, y) är lika lätt som att koppla in x- och y -värdena för din punkt till höger sida av ekvationen och sedan hitta (dy/dx).

• Anta till exempel att vi vill hitta gradienten vid punkten (3, -4) för vår exempelekvation ovan. För att göra det ersätter vi 3 med x och -4 för y och löser enligt följande:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(--48) = 3/48, eller 0, 6875.

Steg 2. Använd kedjeregeln för funktioner inom funktioner

Kedjeregeln är en viktig kunskap att ha när man arbetar med kalkylproblem (inklusive implicita funktionsderivatproblem). Kedjeregeln säger att för en funktion F (x) som kan skrivas som (f o g) (x), derivatet av F (x) är lika med f '(g (x)) g' (x). För svåra implicita funktionsderivatproblem betyder det att det är möjligt att härleda de olika enskilda delarna av ekvationen och sedan kombinera resultaten.

• Som ett enkelt exempel, anta att vi måste hitta derivatet av synd (3x² + x) som en del av det större implicita funktionsderivatproblemet för ekvationen sin (3x² + x) + y³ = 0. Om vi föreställer oss synd (3x² + x) som f (x) och 3x² + x som g (x), kan vi hitta derivatet enligt följande:

  f '(g (x)) g' (x)

  (synd (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Steg 3. För ekvationer med variablerna x, y och z, hitta (dz/dx) och (dz/dy)

Även om det är ovanligt i grundläggande kalkyl, kan vissa avancerade applikationer kräva härledning av implicita funktioner av mer än två variabler. För varje ytterligare variabel måste du hitta dess ytterligare derivat med avseende på x. Om du till exempel har x, y och z bör du söka efter både (dz/dy) och (dz/dx). Vi kan göra detta genom att härleda ekvationen med avseende på x två gånger - först anger vi (dz/dx) varje gång vi härleder en term som innehåller z, och för det andra sätter vi in (dz/dy) varje gång vi härleder z. Efter detta är det bara att lösa (dz/dx) och (dz/dy).

• Låt oss till exempel säga att vi försöker härleda x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Låt oss först härleda mot x och ange (dz/dx). Glöm inte att tillämpa produktregeln om det behövs!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 år⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5 år⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 år⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 år⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Gör nu samma sak för (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3 år²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3 år² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)