Avstånd, ofta med variabeln "s", är ett mått på rymden som är en rak linje mellan två punkter. Avstånd kan referera till utrymmet mellan två orörliga punkter (till exempel är en persons höjd avståndet från fotens botten till toppen av huvudet) eller det kan referera till utrymmet mellan det aktuella läget för ett föremål i rörelse och den ursprungliga platsen där objektet började röra sig. De flesta distansproblem kan lösas med ekvationen s = v × t, där s är avståndet, v är medelhastigheten och t är tiden eller användningen s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), var (x1, y1) och (x2, y2) är x- och y -koordinaterna för de två punkterna.
Steg
Metod 1 av 2: Beräkning av avstånd med medelhastighet och tid
Steg 1. Hitta medelvärdena för hastighet och tid
När du försöker beräkna avståndet ett föremål i rörelse har rest, finns det två delar av information som är viktiga för denna beräkning: fart (eller hastighet) och tid att det rörliga föremålet har färdats. Med denna information är det möjligt att beräkna avståndet för objektet med hjälp av formeln s = v × t.
För att bättre förstå processen med att använda avståndsformeln, låt oss lösa ett exempelproblem i det här avsnittet. Låt oss säga att vi reser längs en väg i 120 miles i timmen (cirka 193 km i timmen) och vi vill veta hur långt vi kommer att ha täckt på en halvtimme. Använda sig av 120 miles i timmen som värdet av medelhastigheten och 0,5 timmar som tidens värde kommer vi att lösa detta problem i nästa steg.
Steg 2. Multiplicera medelhastigheten med tiden
Efter att ha känt medelhastigheten för ett föremål i rörelse och den tid det har rest, är det relativt enkelt att beräkna resan. Multiplicera bara de två värdena för att hitta svaret.
- Observera dock att om tidsenheten som används i medelhastighetsvärdet skiljer sig från den som används i tidsvärdet, måste du ändra en för att matcha. Om vi till exempel hade ett medelhastighetsvärde mätt i km per timme och ett tidsvärde mätt i minuter, skulle du behöva dividera tidsvärdet med 60 för att konvertera det till timmar.
- Låt oss avsluta vårt exempelproblem. 120 miles/timme × 0,5 timmar = 60 mil. Observera att enheterna i tidsvärdet (timmar) utelämnar nämnaren för medelhastigheten (timmar) och lämnar endast avståndsenheterna (miles).
Steg 3. Ändra ekvationen för att beräkna en annan variabel
Enkelheten i grundavståndsekvationen (s = v × t) gör det enkelt att använda ekvationen för att hitta värdet på en annan variabel än avstånd. Isolera bara variabeln du vill hitta enligt de grundläggande reglerna för algebra, ange sedan värdena för de andra två variablerna för att hitta värdet på den tredje variabeln. Med andra ord, för att beräkna objektets medelhastighet, använd ekvationen v = s/t och för att beräkna den tid som förflutit med objektet, använd ekvationen t = s/v.
- Låt oss till exempel säga att vi vet att en bil har gått 60 miles på 50 minuter, men vi har inget värde för medelhastigheten när objektet rör sig. I det här fallet kan vi isolera variabeln v i grundavståndsekvationen för att få v = d/t, sedan är det bara att dela 60 miles/50 minuter för att få svaret 1,2 miles/minut.
- Observera att i exemplet har svaret för hastighet en ovanlig enhet (miles/minut). För att få svar i de vanligaste miles/timmen multiplicerar du med 60 minuter/timme för att få resultatet 72 miles/timme.
Steg 4. Observera att variabeln "v" i avståndsformeln avser medelhastigheten
Det är viktigt att förstå att grundavståndsformeln ger en förenklad bild av rörelsen hos ett objekt. Avståndsformeln antar att ett objekt i rörelse har en konstant hastighet - med andra ord antar det att ett objekt i rörelse har en enda, oföränderlig hastighet. För abstrakta matematiska problem, som de du kan stöta på i en akademisk miljö, är det ibland fortfarande möjligt att modellera rörelsen för ett objekt med hjälp av detta antagande. Men i verkligheten återspeglar dessa exempel ofta inte exakt rörelsen för rörliga föremål, som faktiskt kan accelerera, bromsa, stoppa och backa över tiden.
- Till exempel, i exempelproblemet ovan, drog vi slutsatsen att för att täcka 60 miles på 50 minuter skulle vi behöva resa med 72 miles per timme. Detta gäller dock bara om du reser med en hastighet under hela resan. Till exempel, genom att resa 80 miles/timme för halva resan och 64 miles/timme för den återstående halvan, kommer vi fortfarande att täcka 60 miles på 50 minuter - 72 miles/timme = 60 miles/50 minuter = ?????
- Beräkningsbaserade lösningar som använder derivat är ofta ett bättre val än avståndsformler för att definiera ett objekts hastighet i verkliga situationer eftersom förändringar i hastighet är möjliga.
Metod 2 av 2: Beräkning av avståndet mellan två punkter
Steg 1. Hitta de två rumsliga koordinaterna för de två punkterna
Tänk om du istället för att beräkna avståndet ett föremål i rörelse har rest, måste beräkna avståndet mellan två orörliga föremål? I ett sådant fall fungerar inte den hastighetsbaserade avståndsformeln som beskrivs ovan. Lyckligtvis kan olika avståndsformler användas för att enkelt beräkna det raka linjeavståndet mellan två punkter. Men för att använda denna formel måste du känna till koordinaterna för de två punkterna. Om man hanterar endimensionella avstånd (som på en talrad) kommer koordinaterna att bestå av två tal, x1 och x2. Om du hanterar avstånd i två dimensioner behöver du två värden (x, y), (x1, y1) och (x2, y2). Slutligen, för tre dimensioner, behöver du värdet (x1, y1, z1) och (x2, y2, z2).
Steg 2. Beräkna det endimensionella avståndet genom att subtrahera koordinatvärdena för två punkter
Att beräkna det endimensionella avståndet mellan två punkter när du redan vet att värdet på varje punkt är enkelt. Använd bara formeln s = | x2 - x1|. I denna formel subtraherar du x1 från x2, ta sedan det absoluta värdet av ditt svar för att hitta avståndet mellan x1 och x2. Vanligtvis vill du använda den endimensionella avståndsformeln när de två punkterna är på en linje- eller nummeraxel.
- Observera att denna formel använder absoluta värden (symbol " | |"). Absolut värde betyder bara att värdet i symbolen blir positivt om det är negativt.
-
Låt oss till exempel säga att vi stannar vid sidan av vägen på en helt rak motorväg. Om det finns en stad 5 mil framför oss och en annan stad 1 mil bakom oss, hur långt är de två städerna? Om vi sätter stad 1 som x1 = 5 och stad 2 som x1 = -1 kan vi beräkna s, avståndet mellan de två städerna på följande sätt:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 mil.
Steg 3. Beräkna det tvådimensionella avståndet med hjälp av Pythagoras sats
Att beräkna avståndet mellan två punkter i tvådimensionellt utrymme är mer komplicerat än i endimensionellt, men inte svårt. Använd bara formeln s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). I denna formel, subtrahera de två x-koordinaterna, beräkna kvadratroten, subtrahera de två y-koordinaterna, beräkna kvadratroten, lägg sedan ihop de två resultaten och beräkna kvadratroten för att hitta avståndet mellan de två punkterna. Denna formel gäller för ett tvådimensionellt plan - till exempel på en vanlig x/y -graf.
- Den tvådimensionella avståndsformeln använder Pythagoras sats, som säger att längden på triangelns hypotenusa till höger är lika med kvadratroten på kvadraten på de andra två sidorna.
- Låt oss till exempel säga att vi har två punkter i x -y -planet: (3, -10) och (11, 7), som representerar mitten av en cirkel respektive en punkt på cirkeln. För att hitta det raka linjeavståndet mellan två punkter kan vi beräkna det på följande sätt:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Steg 4. Beräkna det tredimensionella avståndet genom att ändra den tvådimensionella avståndsformeln
I tre dimensioner har punkter z -koordinater utöver x- och y -koordinater. För att beräkna avståndet mellan två punkter i tredimensionellt utrymme, använd s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Detta är en modifierad form av den tvådimensionella avståndsformeln som beskrivs ovan som innehåller z-koordinaten. Att subtrahera de två z-koordinaterna, beräkna kvadratroten och fortsätta med resten av formeln säkerställer att ditt slutliga svar representerar det tredimensionella avståndet mellan de två punkterna.
- Låt oss till exempel säga att vi är astronauter som flyter i rymden mellan två asteroider. En asteroid är cirka 8 km framåt, 2 km till höger och 5 km under oss, medan den andra är cirka 3 km bakom, 3 km till vänster och 4 km ovanför oss. Om vi representerar positionerna för de två asteroiderna med koordinaterna (8, 2, -5) och (-3, -3, 4) kan vi beräkna avståndet mellan dem på följande sätt:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
