Hastighet definieras som ett objekts hastighet i en viss riktning. I många situationer, för att hitta hastighet, kan vi använda ekvationen v = s/t, där v är lika med hastighet, s är lika med det totala avståndet objektet har flyttat från sitt utgångsläge, och t är lika med tid. Denna metod ger emellertid bara objektets "genomsnittliga" hastighetsvärde över dess förskjutning. Med hjälp av kalkyl kan du beräkna ett objekts hastighet när som helst längs dess förskjutning. Detta värde kallas "snabbhastigheten" och kan beräknas med ekvationen v = (ds)/(dt), eller, med andra ord, är derivatet av ekvationen för objektets medelhastighet.
Steg
Metod 1 av 3: Beräkning av momentan hastighet
Steg 1. Börja med ekvationen för hastigheten för objektets förskjutning
För att få värdet på ett föremåls momentana hastighet måste vi först ha en ekvation som beskriver dess position (i termer av dess förskjutning) vid en given tidpunkt. Det betyder att ekvationen måste ha en variabel s (som står ensam) på ena sidan, och t å andra sidan (men inte nödvändigtvis fristående), så här:
s = -1,5t2+10t+4
-
I ekvationen är variablerna:
-
-
Förskjutning = s. Det är den sträcka som objektet rest från dess startpunkt. Till exempel, om ett objekt färdas 10 meter framåt och 7 meter bakåt, är den totala sträckan 10 - 7 = 3 meter (inte 10 + 7 = 17 meter).
-
Tid = t. Denna variabel är självförklarande. Vanligtvis uttryckt i sekunder. # Ta härledningen till ekvationen. Derivatet av en ekvation är en annan ekvation som kan ge lutningsvärdet från en viss punkt. För att hitta derivatet av formeln för förskjutning av ett objekt, härled funktionen med följande allmänna regel: Om y = a*x , Derivat = a*n*xn-1. Denna regel gäller för alla komponenter som finns på "t" -sidan av ekvationen.
Beräkna momentan hastighet Steg 2
-
-
- Med andra ord, börja med att sjunka "t" -sidan av ekvationen från vänster till höger. Varje gång du når "t" -värdet, subtrahera 1 från exponentvärdet och multiplicera hela med den ursprungliga exponenten. Eventuella konstanter (variabler som inte innehåller "t") kommer att gå förlorade eftersom de multipliceras med 0. Denna process är inte så svår som man kan tro, låt oss härleda ekvationen i steget ovan som ett exempel:
s = -1,5t2+10t+4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Steg 2. Ersätt variabeln "s" med "ds/dt
"För att visa att din nya ekvation är derivatet av den tidigare ekvationen, ersätt" s "med" ds/dt ". Tekniskt betyder denna notation" derivat av s med avseende på t. "Ett enklare sätt att förstå detta är att ds /dt är lutningsvärdet (lutningen) vid vilken punkt som helst i den första ekvationen, till exempel för att bestämma lutningen för en linje från ekvationen s = -1,5t2 + 10t + 4 vid t = 5, vi kan ansluta värdet "5" till den härledda ekvationen.
- I exemplet som används skulle den första derivatekvationen nu se ut så här:
ds/sek = -3t + 10
Steg 3. Anslut värdet av t till den nya ekvationen för att få det momentana hastighetsvärdet
Nu när du har den härledda ekvationen är det lätt att hitta den momentana hastigheten när som helst. Allt du behöver göra är att välja ett värde för t och ansluta det till din derivatekvation. Om du till exempel vill hitta den momentana hastigheten vid t = 5 kan du ersätta värdet av t med "5" i den härledda ekvationen ds/dt = -3 + 10. Lös sedan ekvationen så här:
ds/sek = -3t + 10
ds/sek = -3 (5) + 10
ds/sek = -15 + 10 = - 5 meter/sekund
Observera att den enhet som används ovan är "meter/sekund". Eftersom det vi beräknar är förskjutning i meter och tid i sekunder (sekunder) och hastighet i allmänhet är förskjutning under en viss tid, är denna enhet lämplig att använda
Metod 2 av 3: Grafisk uppskattning av momentan hastighet
Steg 1. Rita en graf över objektets förskjutning över tid
I avsnittet ovan nämns derivatet som formeln för att hitta lutningen vid en given punkt för ekvationen du härleder. I själva verket, om du representerar ett objekts förskjutning som en linje på ett diagram, "är linjens lutning vid alla punkter lika med värdet av dess momentana hastighet vid den punkten."
- För att beskriva förskjutningen av ett objekt, använd x för att representera tid och y för att representera förskjutning. Rita sedan punkterna och koppla in värdet av t i din ekvation, så får du värdet s för din graf, markera t, s i grafen som (x, y).
- Observera att din graf kan sträcka sig under x-axeln. Om linjen som representerar objektets rörelse når under x-axeln betyder det att objektet har rört sig bakåt från sitt ursprungliga läge. I allmänhet når din graf inte y -axelns baksida - eftersom vi inte mäter hastigheten på ett objekt som rör sig förbi!
Steg 2. Välj en intilliggande punkt P och Q i raden
För att få linjens lutning vid en punkt P kan vi använda ett trick som kallas "att ta gränsen". Att ta gränsen innebär två punkter (P och Q, en punkt i närheten) på den krökta linjen och hitta linjens lutning genom att ansluta dem många gånger tills avstånden P och Q kommer närmare.
Låt oss säga att objektets förskjutningslinje innehåller värdena (1, 3) och (4, 7). I det här fallet, om vi vill hitta lutningen vid punkten (1, 3), kan vi bestämma (1, 3) = P och (4, 7) = Q.
Steg 3. Hitta lutningen mellan P och Q
Lutningen mellan P och Q är skillnaden i y-värden för P och Q längs x-axelns värdeskillnad för P och Q. Med andra ord, H = (yF - yP)/(xF - xP), där H är lutningen mellan de två punkterna. I vårt exempel är värdet på lutningen mellan P och Q
H = (yF- yP)/(xF- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Steg 4. Upprepa flera gånger och flytta Q närmare P
Ditt mål är att minska avståndet mellan P och Q för att likna en prick. Ju närmare avståndet mellan P och Q, desto närmare lutningen för linjen vid punkt P. Gör detta flera gånger med ekvationen som ett exempel, med hjälp av punkterna (2, 4.8), (1.5, 3.95) och (1.25, 3.49) som Q och utgångspunkten (1, 3) som P:
Q = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(. 5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.. 25) = 1.96
Steg 5. Uppskatta linjens lutning för ett mycket litet avstånd
När Q kommer närmare P, kommer H närmare och närmare värdet för lutningen för punkten P. Slutligen, när det når ett mycket litet värde, är H lika med lutningen för P. Eftersom vi inte kan mäta eller beräkna mycket små avstånd, vi kan bara uppskatta lutningen på P när det är klart från den punkt vi försöker.
- I exemplet, när vi flyttar Q närmare P, får vi värden på 1,8, 1,9 och 1,96 för H. Eftersom dessa siffror är nära 2 kan vi säga att 2 är den ungefärliga lutningen för P.
- Kom ihåg att lutningen vid en given punkt på linjen är lika med derivatet av linjens ekvation. Eftersom den använda linjen visar förskjutningen av ett föremål över tid, och eftersom som vi såg i föregående avsnitt är ett föremåls momentana hastighet ett derivat av dess förskjutning vid en given punkt, kan vi också konstatera att "2 meter/sekund "är det ungefärliga värdet av momentanhastigheten vid t = 1.
Metod 3 av 3: Exempelfrågor
Steg 1. Hitta värdet för den momentana hastigheten vid t = 4, från förskjutningsekvationen s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Detta problem är detsamma som exemplet i den första delen, förutom att denna ekvation är en kubekvation, inte en effektekvation, så vi kan lösa detta problem på samma sätt.
- Först tar vi härledningen till ekvationen:
- Ange sedan värdet på t (4):
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meter/sekund
Steg 2. Använd en grafisk uppskattning för att hitta momentanhastigheten vid (1, 3) för förskjutningsekvationen s = 4t2 - t.
För detta problem kommer vi att använda (1, 3) som punkten P, men vi måste definiera en annan punkt intill den punkten som punkten Q. Sedan behöver vi bara bestämma värdet av H och göra en uppskattning.
- Hitta först värdet på Q först vid t = 2, 1,5, 1,1 och 1,01.
- Bestäm sedan värdet av H:
- Eftersom värdet på H är mycket nära 7 kan vi konstatera det 7 meter/sekund är den ungefärliga momentana hastigheten vid (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, alltså Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, så Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, så Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, så Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Steg 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(. 5) =
Steg 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(. 01) = 7.04
Tips
- För att hitta accelerationsvärdet (förändring i hastighet över tid), använd metoden i det första avsnittet för att få ekvationen för derivatet av förskjutningsfunktionen. Skapa sedan den härledda ekvationen igen, denna gång från din härledda ekvation. Detta ger dig ekvationen för att hitta accelerationen vid en viss tidpunkt, allt du behöver göra är att ange ditt tidsvärde.
- Ekvationen som relaterar värdet på Y (förskjutning) till X (tid) kan vara mycket enkelt, till exempel Y = 6x + 3. I detta fall är lutningsvärdet konstant och det är inte nödvändigt att hitta derivatet för att beräkna det, där enligt ekvationen för en rak linje, Y = mx + b kommer att vara 6.
- Förskjutning liknar avstånd, men har en riktning, så förskjutning är en vektormängd, medan avståndet är en skalär kvantitet. Förskjutningsvärdet kan vara negativt, men avståndet kommer alltid att vara positivt.
