I matematik, factoring är ett sätt att hitta tal eller uttryck som när de multipliceras kommer att ge ett givet tal eller ekvation. Factoring är en användbar färdighet för att lära sig lösa enkla algebraproblem; förmågan att faktorera väl, blir viktig när man hanterar kvadratiska ekvationer och andra former av polynom. Factoring kan användas för att förenkla algebraiska uttryck för att göra deras lösningar enklare. Factoring kan till och med ge dig möjligheten att eliminera vissa möjliga svar, mycket snabbare än att lösa dem manuellt.
Steg
Metod 1 av 3: Factoring Numbers och Simple Algebraic Expressions
Steg 1. Förstå definitionen av factoring när den tillämpas på enstaka nummer
Factoring är ett enkelt koncept, men i praktiken kan det vara utmanande när det tillämpas på komplexa ekvationer. Därför är det lättast att närma sig begreppet factoring genom att börja med enkla siffror, sedan gå vidare till enkla ekvationer, innan vi slutligen går vidare till mer komplexa applikationer. Faktorer för ett tal är tal som vid multiplicering producerar talet. Faktorerna 12 är till exempel 1, 12, 2, 6, 3 och 4, eftersom 1 × 12, 2 × 6 och 3 × 4 är lika med 12.
- Ett annat sätt att tänka på det är att faktorerna för ett tal är tal som kan dela sig jämnt i talet.
-
Kan du hitta alla faktorer för talet 60? Vi använder talet 60 för olika ändamål (minuter på en timme, sekunder på en minut, etc.) eftersom det kan delas med ganska många andra nummer.
Faktorerna 60 är 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60
Steg 2. Förstå att variabla uttryck också kan räknas in
Precis som siffror själva kan räknas in, kan variabler med talkoefficienter också räknas in. För att göra detta, hitta bara faktorerna för de variabla koefficienterna. Att veta hur man faktoriserar en variabel är mycket användbart för att förenkla algebraiska ekvationer som involverar variabeln.
-
Till exempel kan variabeln 12x skrivas som en produkt av faktorerna 12 och x. Vi kan skriva 12x som 3 (4x), 2 (6x), etc., med hjälp av vilken faktor på 12 som fungerar bäst för våra ändamål.
Vi kan till och med faktor 12x flera gånger. Med andra ord, vi behöver inte stanna vid 3 (4x) eller 2 (6x) - vi kan faktorera 4x och 6x för att producera 3 (2 (2x) och 2 (3 (2x). Naturligtvis är dessa två uttryck) är likvärdiga
Steg 3. Applicera multiplikationens distributiva egenskap på faktoralgebraiska ekvationer
Med hjälp av din kunskap om hur man faktorar både enskilda tal och variabler med koefficienter kan du förenkla enkla algebraiska ekvationer genom att hitta de faktorer som tal och variabler delar i algebraiska ekvationer. Vanligtvis, för att förenkla en ekvation, försöker vi hitta den största gemensamma faktorn. Denna förenklingsprocess är möjlig på grund av multiplikationens distributiva egenskap, som gäller för valfritt tal a, b och c. a (b + c) = ab + ac.
- Låt oss prova en exempelfråga. För att faktorisera den algebraiska ekvationen 12x + 6, låt oss först försöka hitta den största gemensamma faktorn på 12x och 6. 6 är det största tal som kan jämnt dela 12x och 6, så att vi kan förenkla ekvationen till 6 (2x + 1).
- Denna process gäller även ekvationer med negativa tal och bråk. Till exempel kan x/2 + 4 förenklas till 1/2 (x + 8) och -7x + -21 kan räknas till -7 (x + 3).
Metod 2 av 3: Faktorisering av kvadratiska ekvationer
Steg 1. Se till att ekvationen är i kvadratisk form (ax2 + bx + c = 0).
Kvadratiska ekvationer har formen ax2 + bx + c = 0, där a, b och c är talkonstanter och inte lika med 0 (observera att a kan vara 1 eller -1). Om du har en ekvation som har en variabel (x) som har en term x till effekten av två eller flera, flyttar du vanligtvis dessa termer i ekvationen med hjälp av enkla algebraiska operationer för att få 0 på vardera sidan av likhetstecknet och axen2, etc. på andra sidan.
- Låt oss till exempel tänka på en algebraisk ekvation. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 kan förenklas till x2 + 6x + 9 = 0, vilket är kvadratformen.
- Ekvationer med den större effekten av x, till exempel x3, x4, etc. är inte kvadratiska ekvationer. Dessa ekvationer är kubiska ekvationer, till den fjärde kraften, och så vidare, om inte ekvationen kan förenklas för att ta bort dessa x -termer med krafter större än 2.
Steg 2. I en kvadratisk ekvation, där a = 1, faktor in i (x+d) (x+e), där d × e = c och d+e = b
Om din kvadratiska ekvation är i formen x2 + bx + c = 0 (med andra ord, om koefficienten för termen x2 = 1) är det möjligt (men inte garanterat) att en ganska enkel stenografi -metod kan användas för att faktorera ekvationen. Hitta två tal som vid multiplicering ger c och läggs till för att producera b. När du har sökt efter dessa två siffror d och e, lägg dem i följande uttryck: (x+d) (x+e). Dessa två termer, när de multipliceras, ger dig din kvadratiska ekvation - med andra ord, de är faktorerna för din kvadratiska ekvation.
- Låt oss till exempel tänka på den kvadratiska ekvationen x2 + 5x + 6 = 0. 3 och 2 multipliceras för att ge 6 och läggs också till för att ge 5, så vi kan förenkla denna ekvation till (x + 3) (x + 2).
-
Den lilla skillnaden i denna grundläggande stenografi -metod ligger i skillnaderna i själva likheterna:
- Om den kvadratiska ekvationen är i formen x2-bx+c, ditt svar är i denna form: (x - _) (x - _).
- Om ekvationen är i formen x2+ bx + c, ditt svar ser ut så här: (x + _) (x + _).
- Om ekvationen är i formen x2-bx -c, ditt svar finns i formen (x + _) (x -_).
- Obs: siffrorna i ämnena kan vara bråk eller decimaler. Till exempel ekvationen x2 + (21/2) x + 5 = 0 räknas in i (x + 10) (x + 1/2).
Steg 3. Om möjligt, faktorera genom kontroller
Tro det eller ej, för okomplicerade kvadratiska ekvationer är en av de tillåtna factoringmetoderna att undersöka problemet och sedan överväga de möjliga svaren tills du hittar rätt svar. Denna metod är också känd som factoring genom undersökning. Om ekvationen är i formen ax2+bx +c och a> 1, är ditt faktorsvar i formen (dx +/- _) (ex +/- _), där d och e är konstanter för icke-nolltal som vid multiplicering ger a. Varken d eller e (eller båda) kan vara 1, även om det inte behöver vara det. Om båda är 1 använder du i princip den stenografi -metod som beskrivs ovan.
Låt oss tänka på ett exempelproblem. 3x2 - 8x + 4 ser svårt ut först. Men när vi inser att 3 bara har två faktorer (3 och 1), blir denna ekvation lättare eftersom vi vet att vårt svar måste ha formen (3x +/- _) (x +/- _). I det här fallet ger det korrekta svaret att lägga till -2 till båda ämnena. -2 × 3x = -6x och -2 × x = -2x. -6x och -2x upp till -8x. -2 × -2 = 4, så vi kan se att de termer som räknas in inom parentes när de multipliceras ger den ursprungliga ekvationen.
Steg 4. Lös genom att slutföra rutan
I vissa fall kan kvadratiska ekvationer snabbt och enkelt faktureras med hjälp av speciella algebraiska identiteter. Varje kvadratisk ekvation i formen x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Så om ditt b -värde i din ekvation är två gånger kvadratroten för ditt c -värde kan din ekvation räknas till (x + (root (c)))2.
Till exempel ekvationen x2 +6x+9 har denna form. 32 är 9 och 3 × 2 är 6. Så, vi vet att faktorformen för denna ekvation är (x + 3) (x + 3) eller (x + 3)2.
Steg 5. Använd faktorer för att lösa kvadratiska ekvationer
Oavsett hur du fakturerade din kvadratiska ekvation, när ekvationen har räknats in, kan du hitta möjliga svar på värdet av x genom att göra varje faktor lika med noll och lösa dem. Eftersom du letar efter värdet på x som gör din ekvation lika med noll, är värdet av x som gör vilken faktor som helst lika med noll ett möjligt svar på din kvadratiska ekvation.
Låt oss gå tillbaka till ekvation x2 + 5x + 6 = 0. Denna ekvation räknas in i (x + 3) (x + 2) = 0. Om endera faktorn är 0 är alla ekvationer lika med 0, så våra möjliga svar för x är tal- ett tal som gör (x + 3) och (x + 2) lika med 0. Dessa siffror är -3 respektive -2.
Steg 6. Kontrollera dina svar - några av svaren kan vara vilseledande
När du hittar möjliga svar för x, koppla tillbaka dem till din ursprungliga ekvation för att se om svaret är korrekt. Ibland gör svaren du hittar inte den ursprungliga ekvationen lika med noll när den matas in igen. Vi kallar detta svar avvikande och ignorerar det.
-
Låt oss sätta -2 och -3 i x2 + 5x + 6 = 0. Först, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Det här svaret är korrekt, så -2 är det rätta svaret.
-
Nu ska vi försöka -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Detta svar är också korrekt, så -3 är det rätta svaret.
Metod 3 av 3: Factoring andra ekvationer
Steg 1. Om ekvationen uttrycks i formen a2-b2, faktor in i (a+b) (a-b).
Ekvationer med två variabler har andra faktorer än den grundläggande kvadratiska ekvationen. För ekvation a2-b2 allt där a och b inte är lika med 0, är ekvationsfaktorerna (a+b) (a-b).
Till exempel ekvationen 9x2 - 4 år2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Steg 2. Om ekvationen uttrycks i formen a2+2ab+b2, faktor in i (a+b)2.
Observera att om trinomin har formen a2-2ab+b2, formfaktorerna är något annorlunda: (a-b)2.
4x. Ekvation2 + 8xy + 4y2 kan skrivas om som 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Nu kan vi se att formen är korrekt, så vi kan vara säkra på att faktorerna i vår ekvation är (2x + 2y)2
Steg 3. Om ekvationen uttrycks i formen a3-b3, faktor in i (a-b) (a2+ab+b2).
Slutligen nämndes det redan att kubikekvationer och ännu högre makter kan räknas in, även om factoringprocessen snabbt blir mycket komplicerad.
Till exempel 8x3 - 27 år3 räknas in i (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Tips
- a2-b2 kan räknas in, a2+b2 kan inte räknas in.
- Kom ihåg hur man faktor en konstant. Detta kan hjälpa.
- Var försiktig med fraktioner i factoringprocessen och arbeta med fraktioner korrekt och noggrant.
- Om du har ett trinomin av formen x2+ bx+ (b/2)2, formfaktorn är (x+(b/2))2. (Du kan stöta på den här situationen när du slutför torget.)
- Kom ihåg att a0 = 0 (egenskapen för produkten noll).
