6 sätt att faktor andra polynom (kvadratiska ekvationer)

2025 Författare: Jason Gerald | [email protected]. Senast ändrad: 2025-01-23 12:48

Ett polynom innehåller en variabel (x) med en effekt, känd som en grad, och flera termer och/eller konstanter. Att faktorera ett polynom innebär att bryta ekvationen till enklare ekvationer som kan multipliceras. Denna färdighet finns i Algebra 1 och uppåt, och kan vara svår att förstå om dina matematiska färdigheter inte är på denna nivå.

Steg

Start

Steg 1. Ställ in din ekvation

Standardformatet för en kvadratisk ekvation är:

yxa² + bx + c = 0

Börja med att ordna termerna i din ekvation från högsta till lägsta effekt, precis som i detta standardformat. Till exempel:

6 + 6x² + 13x = 0

Vi kommer att ordna om ekvationen så att det är lättare att arbeta med genom att helt enkelt flytta termerna:

6x² + 13x + 6 = 0

Steg 2. Hitta formfaktorn med någon av följande metoder

Fakturering av polynomet resulterar i två enklare ekvationer som kan multipliceras för att producera det ursprungliga polynomet:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

I detta exempel är (2x + 3) och (3x + 2) faktorerna för den ursprungliga ekvationen, 6x² +13x+6.

Steg 3. Kontrollera ditt arbete

Multiplicera de faktorer du har. Kombinera sedan liknande termer och du är klar. Börja med:

(2x + 3) (3x + 2)

Låt oss försöka multiplicera termerna med PLDT (först - utvändigt - inuti - sist), vilket resulterar i:

6x² + 4x + 9x + 6

Härifrån kan vi lägga till 4x och 9x eftersom de är som termer. Vi vet att våra faktorer är korrekta eftersom vi får vår ursprungliga ekvation:

6x² + 13x + 6

Metod 1 av 6: Trial and Error

Om du har ett ganska enkelt polynom kanske du kan hitta faktorerna själv bara genom att titta på dem. Till exempel, efter träning, kan många matematiker räkna ut att ekvationen 4x² + 4x + 1 har en faktor (2x + 1) och (2x + 1) bara genom att titta på det ofta. (Detta blir naturligtvis inte lätt för mer komplicerade polynom). För det här exemplet, låt oss använda en mindre frekvent ekvation:

3x² + 2x - 8

Steg 1. Skriv en lista över faktorerna term a och term c

Använda axelekvationsformatet² + bx + c = 0, identifiera termerna a och c och skriv ner de faktorer som båda termerna har. För 3x² + 2x - 8, vilket betyder:

a = 3 och har en uppsättning faktorer: 1 * 3

c = -8 och har fyra uppsättningar faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 och -1 * 8.

Steg 2. Skriv ner två uppsättningar med parenteser med tomma mellanslag

Du fyller i de tomma ämnen som du har skapat med konstanter för varje ekvation:

(x) (x)

Steg 3. Fyll i ämnena framför x med de möjliga paren av faktorer för värdet av a

För termen a i vårt exempel, 3x², det finns bara en möjlighet för vårt exempel:

(3x) (1x)

Steg 4. Fyll i de två ämnena efter x med par av faktorer för konstanten

Antag att vi väljer 8 och 1. Skriv i dem:

(3x

Steg 8.)(

Steg 1

Steg 5. Bestäm tecknet (plus eller minus) mellan variabeln x och talet

Beroende på tecknen i den ursprungliga ekvationen kan det vara möjligt att söka efter tecken efter konstanter. Antag att vi kallar de två konstanterna h och k för våra två faktorer:

Om ax² + bx + c sedan (x + h) (x + k)

Om ax² - bx - c eller ax² + bx - c sedan (x - h) (x + k)

Om ax² - bx + c sedan (x - h) (x - k)

För vårt exempel, 3x² + 2x - 8, tecknen är: (x - h) (x + k), vilket ger oss två faktorer:

(3x + 8) och (x - 1)

Steg 6. Testa dina val med först-ut-in-sista multiplikation (PLDT)

Det första snabba testet är att se om mellantiden har åtminstone rätt värde. Om inte kan du ha valt fel c -faktorer. Låt oss testa vårt svar:

(3x + 8) (x - 1)

Genom multiplikation får vi:

3x² - 3x + 8x - 8

Genom att förenkla denna ekvation genom att lägga till liknande termer (-3x) och (8x) får vi:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Nu vet vi att vi måste ha använt fel faktorer:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Steg 7. Ändra ditt val om det behövs

I vårt exempel, låt oss prova 2 och 4 istället för 1 och 8:

(3x + 2) (x - 4)

Nu är vår c -term -8, men vår utvändiga/inre produkt (3x * -4) och (2 * x) är -12x och 2x, vilket tillsammans inte ger rätt b +2x -term.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Steg 8. Omvänd ordningen om det behövs

Låt oss försöka byta 2 och 4:

(3x + 4) (x - 2)

Nu är vår c -term (4 * 2 = 8) korrekt, men den yttre/inre produkten är -6x och 4x. Om vi kombinerar dem:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Vi är ganska nära 2x vi letar efter, men tecknet är fel.

Steg 9. Dubbelkolla dina taggar om det behövs

Vi använder samma ordning, men byter ut ekvationerna som har minustecknet:

(3x - 4) (x + 2)

Nu är termen c inga problem, och den nuvarande yttre/inre produkten är (6x) och (-4x). Eftersom:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Nu kan vi använda positiva 2x från det ursprungliga problemet. Det måste vara de rätta faktorerna.

Metod 2 av 6: Sönderfall

Denna metod kommer att identifiera alla möjliga faktorer för termerna a och c och använda dem för att hitta rätt faktorer. Om siffrorna är för stora eller gissningar verkar tidskrävande, använd den här metoden. Låt oss använda ett exempel:

6x² + 13x + 6

Steg 1. Multiplicera term a med term c

I det här exemplet är a 6 och c är också 6.

6 * 6 = 36

Steg 2. Få termen b genom factoring och testning

Vi letar efter två siffror som är faktorer för produkten a * c som vi har identifierat och också summerar till termen b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Steg 3. Ersätt de två siffrorna du får i din ekvation som ett resultat av att lägga till term b

Låt oss använda k och h för att representera de två talen vi har, 4 och 9:

yxa² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Steg 4. Faktorera polynomet genom att gruppera

Ordna ekvationerna så att du kan ta den största gemensamma faktorn för både första och andra termer. Faktorgruppen måste vara densamma. Lägg till den största gemensamma faktorn och placera den inom parentes bredvid faktorgruppen; resultatet är dina två faktorer:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metod 3 av 6: Triple Play

I likhet med sönderdelningsmetoden undersöker triple play -metoden de möjliga faktorerna för att multiplicera termerna a och c och använda värdet av b. Prova att använda det här exemplet:

8x² + 10x + 2

Steg 1. Multiplicera term a med term c

Precis som analysmetoden hjälper detta oss att identifiera kandidater för term b. I det här exemplet är a 8 och c är 2.

8 * 2 = 16

Steg 2. Hitta två tal som, när de multipliceras med siffror, ger detta tal med en totalsumma lika med termen b

Detta steg är detsamma som att analysera - vi testar och kasserar kandidater för konstanten. Produkten av termerna a och c är 16, och termen c är 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Steg 3. Ta dessa två nummer och testa dem genom att ansluta dem till trippelspelformeln

Ta våra två nummer från föregående steg - låt oss kalla dem h och k - och anslut dem till ekvationen:

((ax + h) (ax + k))/ a

Vi kommer få:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Steg 4. Lägg märke till om någon av de två termerna i täljaren är delbar med a

I det här exemplet såg vi om (8x + 8) eller (8x + 2) är delbart med 8. (8x + 8) är delbart med 8, så vi delar denna term med a och lämnar de andra faktorerna ensamma.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Termen inom parentes här är vad som återstår när vi delar med termen a.

Steg 5. Ta den största gemensamma faktorn (GCF) av en eller båda termerna, om sådana finns

I detta exempel har den andra termen en GCF på 2, eftersom 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinera detta resultat med termen du fick från föregående steg. Detta är faktorerna i din ekvation.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metod 4 av 6: Skillnad på fyrkantiga rötter

Vissa koefficienter i polynom kan vara "kvadrater" eller en produkt av två tal. Genom att identifiera dessa rutor kan du faktorera flera polynom snabbare. Prova denna ekvation:

27x² - 12 = 0

Steg 1. Ta ut den största gemensamma faktorn om möjligt

I det här fallet kan vi se att 27 och 12 är delbara med 3, så vi får:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Steg 2. Identifiera om koefficienterna i din ekvation är kvadratiska tal

För att använda denna metod måste du kunna ta kvadratroten på båda termerna. (Observera att vi kommer att ignorera det negativa tecknet - eftersom dessa siffror är kvadrater kan de vara en produkt av två positiva eller negativa tal)

9x² = 3x * 3x och 4 = 2 * 2

Steg 3. Med hjälp av kvadratroten som du fick skriver du ner faktorerna

Vi tar värdena för a och c från vårt steg ovan - a = 9 och c = 4, sedan hittar vi kvadratroten - a = 3 och c = 2. Resultatet är koefficienten för faktorekvationen:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metod 5 av 6: Kvadratisk formel

Om allt annat misslyckas och ekvationen inte kan räknas hel, använd den kvadratiska formeln. Prova detta exempel:

x² + 4x + 1 = 0

Steg 1. Ange erforderliga värden i den kvadratiska formeln:

x = -b ± (b² - 4ac)

2a

Vi får ekvationen:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Steg 2. Hitta värdet på x

Du får två värden. Som visas ovan får vi två svar:

x = -2 + (3) eller x = -2 -(3)

Steg 3. Använd ditt x-värde för att hitta faktorerna

Anslut x -värdena du har fått till de två polynomekvationerna som konstanter. Resultatet är dina faktorer. Om vi kallar våra svar h och k, skriver vi ner de två faktorerna enligt följande:

(x - h) (x - k)

I det här exemplet är vårt slutliga svar:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

Metod 6 av 6: Använda räknaren

Om du får använda en miniräknare gör en grafräknare factoringprocessen mycket enklare, särskilt för standardiserade tester. Dessa instruktioner gäller TI -grafkalkylatorn. Vi använder en exempelekvation:

y = x² x 2

Steg 1. Ange ekvationen i miniräknaren

Du kommer att använda faktoringen av ekvationen, som är skriven [Y =] på skärmen.

Steg 2. Diagram din ekvation med hjälp av din räknare

När du har angett din ekvation trycker du på [GRAPH] - du ser en slät kurva som representerar din ekvation (och formen är en kurva eftersom vi använder polynom).

Steg 3. Hitta platsen där kurvan skär med x-axeln

Eftersom polynomekvationer vanligtvis skrivs som ax² + bx + c = 0, denna skärning är det andra värdet av x som gör att ekvationen är noll:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Om du inte kan identifiera var grafen skär med x-axeln genom att titta på den, tryck på [2: a] och sedan [TRACE]. Tryck på [2] eller välj noll. Flytta markören till vänster om skärningspunkten och tryck på [ENTER]. Flytta markören till höger om skärningspunkten och tryck på [ENTER]. Flytta markören så nära korsningen som möjligt och tryck på [ENTER]. Räknaren hittar värdet x. Gör detta för de andra korsningarna också

Steg 4. Anslut x -värdet som erhölls från föregående steg till tvåfaktorekvationen

Om vi namngav båda våra x -värden h och k skulle ekvationerna vi skulle använda vara:

(x - h) (x - k) = 0

Således är våra två faktorer:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tips

• Om du har en TI-84-miniräknare (graf) finns det ett program som heter SOLVER som löser dina kvadratiska ekvationer. Detta program kommer att lösa polynom av alla grader.
• Om en term inte skrivs är koefficienten 0. Det är bra att skriva om ekvationen om så är fallet, till exempel: x² + 6 = x² +0x+6.
• Om du redovisade ditt polynom med en kvadratisk formel och fick svaret när det gäller rötter, kanske du vill konvertera värdet av x till en bråkdel för att kontrollera.
• Om en term inte har någon skriftlig koefficient är koefficienten 1, till exempel: x² = 1x².
• Efter tillräckligt med övning kommer du så småningom att kunna faktor polynom i ditt huvud. Tills du kan göra det, se till att alltid skriva ner instruktionerna.