I ett”ekvationssystem” ombeds du att lösa två eller flera ekvationer samtidigt. När de två ekvationerna har två olika variabler, till exempel x och y, kan lösningen först verka svår. Lyckligtvis, när du vet vad du behöver göra, kan du helt enkelt använda dina algebraiska färdigheter (och vetenskapen om att beräkna fraktioner) för att lösa problemet. Lär dig också hur du ritar dessa två ekvationer om du är en visuell lärare eller krävs av läraren. Ritningar hjälper dig att identifiera ämnet eller kontrollera resultatet av ditt arbete. Denna metod är dock långsammare än de andra metoderna och kan inte användas för alla ekvationssystem.
Steg
Metod 1 av 3: Använda substitutionsmetoden
Steg 1. Flytta variablerna till motsatta sidan av ekvationen
Substitutionsmetoden börjar med att "hitta värdet på x" (eller någon annan variabel) i en av ekvationerna. Säg till exempel att ekvationen för problemet är 4x + 2y = 8 och 5x + 3y = 9. Börja med att arbeta med den första ekvationen. Ordna om ekvationen genom att subtrahera 2y på båda sidor. Således får du 4x = 8 - 2y.
Denna metod använder ofta fraktioner i slutet. Om du inte gillar att räkna bråk, prova elimineringsmetoden nedan
Steg 2. Dela upp båda sidorna av ekvationen för att "hitta värdet på x"
När termen x (eller vilken variabel du använder) är ensam på ena sidan av ekvationen, dela båda sidorna av ekvationen med koefficienterna så att endast variabeln finns kvar. Som ett exempel:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Steg 3. Anslut x -värdet från den första ekvationen till den andra ekvationen
Se till att du ansluter den till den andra ekvationen, istället för den du just arbetat med. Ersätt (ersätt) variabeln x i den andra ekvationen. Således har den andra ekvationen nu bara en variabel. Som ett exempel:
- Är känd x = 2 - y.
- Din andra ekvation är 5x + 3y = 9.
- Efter att ha bytt x -variabeln i den andra ekvationen med x -värdet från den första ekvationen får vi "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Steg 4. Lös de återstående variablerna
Nu har din ekvation bara en variabel. Beräkna ekvationen med vanliga algebraiska operationer för att hitta variabelns värde. Om de två variablerna avbryter varandra, hoppa direkt till det sista steget. Annars får du ett värde för en av variablerna:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Om du inte förstår detta steg kan du lära dig att lägga till bråk.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Steg 5. Använd det erhållna svaret för att hitta det verkliga värdet av x i den första ekvationen
Sluta inte ännu för dina beräkningar är inte klara ännu. Du måste ansluta det erhållna svaret till den första ekvationen för att hitta värdet på de återstående variablerna:
- Är känd y = -2
- En av ekvationerna i den första ekvationen är 4x + 2y = 8. (Du kan använda endera.)
- Ersätt y -variabeln med -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Steg 6. Vet vad du ska göra om de två variablerna avbryter varandra
När du går in x = 3y+2 eller ett liknande svar på den andra ekvationen, vilket innebär att du försöker få en ekvation som bara har en variabel. Ibland får du bara ekvationen utan variabel. Dubbelkolla ditt arbete och se till att du har satt (omordnad) ekvation en i ekvation två istället för att gå tillbaka till den första ekvationen. Om du är säker på att du inte har gjort något fel skriver du något av följande resultat:
- Om ekvationen inte har några variabler och inte är sant (till exempel 3 = 5), är detta problem har inget svar. (När detta är grafiskt är dessa två ekvationer parallella och möts aldrig.)
- Om ekvationen inte har några variabler och Korrekt, (t.ex. 3 = 3), vilket betyder att frågan har obegränsade svar. Ekvation ett är exakt samma som ekvation två. (När de är grafiska är dessa två ekvationer samma linje.)
Metod 2 av 3: Använda elimineringsmetoden
Steg 1. Hitta de ömsesidigt uteslutande variablerna
Ibland är ekvationen i problemet redan avbryta varandra när de läggs ihop. Till exempel om du gör ekvationen 3x + 2y = 11 och 5x - 2y = 13kommer termerna "+2y" och "-2y" att avbryta varandra och ta bort variabeln "y" från ekvationen. Titta på ekvationen i problemet och se om det finns variabler som avbryter varandra, som i exemplet. Om inte, fortsätt till nästa steg.
Steg 2. Multiplicera ekvationen med en så att en variabel tas bort
(Hoppa över detta steg om variablerna redan avbryter varandra.) Om ekvationen inte har variabler som avbryts på egen hand, ändra en av ekvationerna så att de kan avbryta varandra. Ta en titt på följande exempel så att du enkelt kan förstå dem:
- Ekvationerna i problemet är 3x - y = 3 och - x + 2y = 4.
- Låt oss ändra den första ekvationen så att variabeln y ta ut varandra. (Du kan använda variabeln x. Det slutliga svaret som erhålls blir detsamma.)
- Variabel - y i den första ekvationen måste elimineras med + 2år i den andra ekvationen. Hur, multiplicera - y med 2.
- Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 2, enligt följande: 2 (3x - y) = 2 (3), alltså 6x - 2y = 6. Nu, stam - 2 år kommer att avbryta varandra med +2år i den andra ekvationen.
Steg 3. Kombinera de två ekvationerna
Tricket är att lägga till höger sida av den första ekvationen till höger sida av den andra ekvationen och lägga till vänster sida av den första ekvationen till vänster sida av den andra ekvationen. Om det görs korrekt kommer en av variablerna att avbryta varandra. Låt oss försöka fortsätta beräkningen från föregående exempel:
- Dina två ekvationer är 6x - 2y = 6 och - x + 2y = 4.
- Lägg till vänster sida av de två ekvationerna: 6x - 2y - x + 2y =?
- Lägg ihop de högra sidorna av de två ekvationerna: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Steg 4. Hämta det sista variabelvärdet
Förenkla din sammansatta ekvation och arbeta med standardalgebra för att få värdet på den sista variabeln. Om ekvationen inte har några variabler efter förenkling, fortsätt till det sista steget i detta avsnitt.
Annars får du ett värde för en av variablerna. Som ett exempel:
- Är känd 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Gruppvariabler x och y tillsammans: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Förenkla ekvationen: 5x = 10
- Hitta x -värdet: (5x)/5 = 10/5, för att uppnå x = 2.
Steg 5. Hitta värdet på en annan variabel
Du har hittat värdet på en variabel, men hur är det med den andra? Anslut ditt svar till en av ekvationerna för att hitta värdet på den återstående variabeln. Som ett exempel:
- Är känd x = 2, och en av ekvationerna i problemet är 3x - y = 3.
- Ersätt x -variabeln med 2: 3 (2) - y = 3.
- Hitta värdet på y i ekvationen: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, alltså 6 = 3 + y
- 3 = y
Steg 6. Vet vad du ska göra när de två variablerna avbryter varandra
Ibland resulterar en kombination av två ekvationer i en ekvation som inte är vettig eller inte hjälper dig att lösa problemet. Granska ditt arbete, och om du är säker på att du inte gjorde något fel skriver du ett av följande två svar:
- Om den kombinerade ekvationen inte har några variabler och inte är sant (till exempel 2 = 7), är detta problem har inget svar. Detta svar gäller för båda ekvationerna. (När detta är grafiskt är dessa två ekvationer parallella och möts aldrig.)
- Om den kombinerade ekvationen inte har några variabler och Korrekt, (t.ex. 0 = 0), vilket betyder att frågan har obegränsade svar. Dessa två ekvationer är identiska med varandra. (När de är grafiska är dessa två ekvationer samma linje.)
Metod 3 av 3: Rita en diagram över ekvationer
Steg 1. Utför den här metoden endast när du får instruktioner
Om du inte använder en dator eller en grafräknare kan den här metoden bara ge ungefärliga svar. Din lärare eller lärobok kan berätta att du använder den här metoden för att vana att rita ekvationer som linjer. Denna metod kan också användas för att kontrollera svaret på en av metoderna ovan.
Huvudidén är att du måste beskriva de två ekvationerna och hitta deras skärningspunkt. Värdet av x och y vid denna skärningspunkt är svaret på problemet
Steg 2. Hitta y-värdena för båda ekvationerna
Kombinera inte de två ekvationerna och ändra varje ekvation så att formatet är "y = _x + _". Som ett exempel:
- Din första ekvation är 2x + y = 5. Ändra till y = -2x + 5.
- Din första ekvation är - 3x + 6y = 0. Ändra till 6y = 3x + 0, och förenkla till y = x + 0.
- Om dina två ekvationer är exakt desamma, hela linjen är "skärningspunkten" mellan de två ekvationerna. Skriva obegränsade svar som svar.
Steg 3. Rita koordinataxlarna
Rita en vertikal "y-axel" -linje och en horisontell "x-axel" -linje på grafpappret. Börja vid den punkt där de två axlarna skär (0, 0), skriv ner sifferetiketterna 1, 2, 3, 4, och så vidare och pekar uppåt på y-axeln och pekar åt höger på x-axeln. Efter det skriver du ner sifferetiketterna -1, -2, och så vidare och pekar nedåt på y -axeln och pekar åt vänster på x -axeln.
- Om du inte har grafpapper använder du en linjal för att se till att avståndet mellan varje nummer är exakt detsamma.
- Om du använder stora siffror eller decimaler rekommenderar vi att du skala din graf (t.ex. 10, 20, 30 eller 0, 1, 0, 2, 0, 3 istället för 1, 2, 3).
Steg 4. Rita y-skärningspunkten för varje ekvation
Om ekvationen finns i formen y = _x + _, kan du börja rita en graf genom att göra den punkt där ekvationslinjen skär med y-axeln. Värdet på y är alltid detsamma som det sista talet i ekvationen.
-
Fortsätter det föregående exemplet, den första raden (y = -2x + 5) skär y-axeln vid
Steg 5.. andra linjen (y = x + 0) skär y-axeln vid 0. (Dessa punkter skrivs som (0, 5) och (0, 0) på grafen.)
- Om möjligt, rita de första och andra raderna med olika färgpennor eller pennor.
Steg 5. Använd lutningen för att fortsätta linjen
I ekvationsformat y = _x + _, talet framför x anger linjens”lutningsnivå”. Varje gång x ökas med en ökar värdet på y med antalet lutningsnivåer. Använd denna information för att hitta punkterna för varje rad i diagrammet när x = 1. (Du kan också ange x = 1 i varje ekvation och hitta värdet på y.)
- Fortsätter det föregående exemplet, raden y = -2x + 5 har en lutning på - 2. Vid punkt x = 1 rör sig linjen ner med 2 från punkten x = 0. Rita en linje som förbinder (0, 5) med (1, 3).
- Linje y = x + 0 har en lutning på ½. Vid x = 1 rör sig linjen rida från punkten x = 0. Rita en linje som förbinder (0, 0) med (1,).
- Om två linjer har samma lutning, kommer de två aldrig att korsas. Således har detta ekvationssystem inget svar. Skriva inget svar som svar.
Steg 6. Fortsätt ansluta linjerna tills de två linjerna skär varandra
Sluta arbeta och ta en titt på din graf. om de två linjerna har korsat varandra, fortsätt till nästa steg. Om inte, fatta ett beslut baserat på positionen för dina två rader:
- Om de två linjerna närmar sig varandra, fortsätt att ansluta prickarna på dina ränder.
- Om de två linjerna rör sig bort från varandra, gå tillbaka och anslut punkterna i motsatta riktningar, med början på x = 1.
- Om de två linjerna är väldigt långt ifrån varandra, försök hoppa över och anslut punkterna längre bort, till exempel x = 10.
Steg 7. Hitta svaret vid skärningspunkten
När de två raderna skär varandra är värdet på x och y vid den punkten svaret på ditt problem. Om du har tur blir svaret ett helt tal. Till exempel, i vårt exempel skär de två linjerna vid punkten (2, 1) så svaret är x = 2 och y = 1. I vissa ekvationssystem är punkten där linjen skär varandra mellan två hela tal, och om grafen inte är särskilt exakt är det svårt att avgöra var x- och y -värdena ligger vid skärningspunkten. Om det är tillåtet kan du skriva "x är mellan 1 och 2" som svaret, eller använda substitutions- eller eliminationsmetoden för att hitta svaret.
Tips
- Du kan kontrollera ditt arbete genom att ansluta svaren till den ursprungliga ekvationen. Om ekvationen visar sig vara sann (t.ex. 3 = 3) betyder det att ditt svar är korrekt.
- När du använder elimineringsmetoden måste du ibland multiplicera ekvationen med ett negativt tal så att variablerna kan avbryta varandra.
