Rotformen är ett algebraiskt uttalande som har tecknet på kvadratroten (eller kubrot eller högre). Detta formulär kan ofta representera två nummer som har samma värde även om de kan se olika ut vid första anblicken (till exempel 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Därför behöver vi en "standardformel" för denna form. Om det finns två påståenden, båda i standardformeln, som verkar olika, är de inte desamma. Matematiker är överens om att standardformuleringen för den kvadratiska formen uppfyller följande krav:
- Undvik att använda bråk
- Använd inte fraktionskrafter
- Undvik att använda rotformen i nämnaren
- Innehåller inte multiplikationen av två rotformer
- Tal under roten kan inte rotas längre
En praktisk användning av detta är vid flervalsprov. När du hittar ett svar, men ditt svar inte är detsamma som de tillgängliga alternativen, försök att förenkla det till en standardformel. Eftersom frågeställare vanligtvis skriver svar i standardformler, gör samma sak med dina svar för att matcha deras. I essäfrågor betyder kommandon som "förenkla ditt svar" eller "förenkla alla rötter" att eleverna måste utföra följande steg tills de uppfyller standardformeln enligt ovan. Detta steg kan också användas för att lösa ekvationer, även om vissa typer av ekvationer är lättare att lösa i icke-standardformler.
Steg
Steg 1. Om det behövs, se över reglerna för drift av rötter och exponenter (båda är lika - rötter är fraktionsbefogenheter) eftersom vi behöver dem i denna process
Se också över reglerna för att förenkla polynom och rationella former eftersom vi kommer att behöva förenkla dem.
Metod 1 av 6: Perfect Squares
Steg 1. Förenkla alla rötter som innehåller perfekta rutor
En perfekt kvadrat är produkten av ett tal i sig, till exempel 81, som är en produkt på 9 x 9. För att förenkla en perfekt kvadrat, ta bara bort kvadratroten och skriv ner kvadratroten på talet.
- Till exempel är 121 en perfekt kvadrat eftersom 11 x 11 är lika med 121. Så du kan förenkla roten (121) till 11 genom att ta bort rottecknet.
- För att göra detta steg enklare måste du komma ihåg de första tolv perfekta rutorna: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Steg 2. Förenkla alla rötter som innehåller perfekta kuber
En perfekt kub är produkten av att multiplicera ett tal med sig själv två gånger, till exempel 27, vilket är produkten av 3 x 3 x 3. För att förenkla rotformen för en perfekt kub, ta bara bort kvadratroten och skriv ner kvadratroten av numret.
Till exempel är 343 en perfekt kub eftersom den är en produkt av 7 x 7 x 7. Så kubroten på 343 är 7
Metod 2 av 6: Omvandla fraktioner till rötter
Eller ändra tvärtom (det hjälper ibland), men blanda inte ihop dem i samma uttalande som root (5) + 5^(3/2). Vi antar att du vill använda rotformen och vi använder symbolerna rot (n) för kvadratroten och sqrt^3 (n) för kubrot.
Steg 1. Ta en till fraktionens kraft och konvertera den till rotformen, till exempel x^(a/b) = root till b -effekten av x^a
Om kvadratroten är i fraktionsform, konvertera den till vanlig form. Till exempel kvadratrot (2/3) av 4 = rot (4)^3 = 2^3 = 8
Steg 2. Konvertera negativa exponenter till fraktioner, till exempel x^-y = 1/x^y
Denna formel gäller endast för konstanta och rationella exponenter. Om du har att göra med en form som 2^x, ändra inte den, även om problemet indikerar att x kan vara en bråkdel eller ett negativt tal
Steg 3. Slå ihop samma stam och förenkla den resulterande rationella formen.
Metod 3 av 6: Eliminering av fraktioner i rötter
Standardformeln kräver att roten är ett heltal.
Steg 1. Titta på siffran under kvadratroten om den fortfarande innehåller en bråkdel
Om ändå,…
Steg 2. Byt till en bråkdel som består av två rötter med hjälp av identitetsrot (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Använd inte denna identitet om nämnaren är negativ, eller om det är en variabel som kan vara negativ. Förenkla i detta fall fraktionen först
Steg 3. Förenkla varje perfekt kvadrat av resultatet
Det vill säga, konvertera sqrt (5/4) till sqrt (5)/sqrt (4), förenkla sedan till sqrt (5)/2.
Steg 4. Använd andra förenklingsmetoder som att förenkla komplexa fraktioner, kombinera lika villkor etc
Metod 4 av 6: Kombinera multiplikationsrötter
Steg 1. Om du multiplicerar en rotform med en annan, kombinera de två i en kvadratrot med hjälp av formeln:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Till exempel, ändra rot (2)*rot (6) till rot (12).
- Identiteten ovan, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), är giltig om talet under sqrt -tecknet inte är negativt. Använd inte denna formel när a och b är negativa eftersom du gör misstaget att göra sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Påståendet till vänster är lika med -1 (eller odefinierat om du inte använder komplexa tal) medan påståendet till höger är +1. Om a och/eller b är negativa, först "ändra" tecknet som sqrt (-5) = i*sqrt (5). Om formen under rottecknet är en variabel vars tecken är okänt från sammanhanget eller kan vara positivt eller negativt, låt det vara som det är tills vidare. Du kan använda den mer allmänna identiteten, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) som gäller för alla reella tal a och b, men vanligtvis hjälper denna formel inte mycket eftersom den lägger till komplexitet för att använda funktionen sgn (signum).
- Denna identitet är endast giltig om rötternas former har samma exponent. Du kan multiplicera olika kvadratrötter som sqrt (5)*sqrt^3 (7) genom att konvertera dem till samma kvadratrot. För att göra detta, konvertera kvadratroten tillfälligt till en bråkdel: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Använd sedan multiplikationsregeln för att multiplicera de två till kvadratroten på 6125.
Metod 5 av 6: Ta bort kvadratfaktorn från roten
Steg 1. Fakturering av ofullkomliga rötter till primära faktorer
En faktor är ett tal som, när det multipliceras med ett annat tal, bildar ett tal - till exempel är 5 och 4 två faktorer på 20. För att bryta ner ofullkomliga rötter, skriv ner alla faktorer i talet (eller så många som möjligt, om antalet är för stort) tills du har hittat en perfekt kvadrat.
Försök till exempel hitta alla faktorerna 45: 1, 3, 5, 9, 15 och 45. 9 är en faktor 45 och är också en perfekt kvadrat (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Steg 2. Ta bort alla multiplikatorer som är perfekta rutor inifrån kvadratroten
9 är en perfekt kvadrat eftersom den är produkten av 3 x 3. Ta ut 9: an ur kvadratroten och ersätt den med 3 framför kvadratroten och lämna 5 inuti kvadratroten. Om du "sätter" 3 tillbaka i kvadratroten, multiplicera med sig själv för att göra 9, och om du multiplicerar med 5 returnerar det 45. 3 rötter av 5 är ett enkelt sätt att uttrycka roten till 45.
Det vill säga sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Steg 3. Hitta den perfekta rutan i variabeln
Kvadratroten på en kvadrat är | a |. Du kan förenkla detta till bara "a" om den kända variabeln är positiv. Kvadratroten av a till kraften 3 när den bryts ner till kvadratroten i ett kvadrat gånger a - kom ihåg att exponenterna summeras när vi multiplicerar två tal till effekten av a, så ett kvadrat gånger a är lika med a till tredje kraften.
Därför är en perfekt kvadrat i formen en kubad en kvadrat
Steg 4. Ta bort variabeln som innehåller den perfekta kvadraten från kvadratroten
Ta nu en kvadrat från kvadratroten och ändra den till | a |. Den enkla formen av roten a till kraften 3 är | a | rot a.
Steg 5. Kombinera lika villkor och förenkla alla rötter i beräkningsresultaten
Metod 6 av 6: Rationalisera nämnaren
Steg 1. Standardformeln kräver att nämnaren är ett heltal (eller ett polynom om den innehåller en variabel) så mycket som möjligt
-
Om nämnaren består av en term under rottecknet, till exempel […]/root (5), multiplicera sedan både täljaren och nämnaren med den roten för att få […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*root (5)/5.
För kubrötter eller högre, multiplicera med lämplig rot så att nämnaren är rationell. Om nämnaren är root^3 (5) multiplicerar du täljaren och nämnaren med sqrt^3 (5)^2
-
Om nämnaren består av att addera eller subtrahera två kvadratrötter som sqrt (2) + sqrt (6), multiplicera kvantifieraren och nämnaren med deras konjugat, vilket är samma form men med motsatt tecken. Sedan […]/(rot (2) + rot (6)) = […] (rot (2) -rot (6))/(rot (2) + rot (6)) (rot (2) -rot (6)). Använd sedan identitetsformeln för skillnaden mellan två rutor [(a + b) (ab) = a^2-b^2] för att rationalisera nämnaren, för att förenkla (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Detta gäller också nämnare som 5 + sqrt (3) eftersom alla heltal är rötter till andra heltal. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Denna metod gäller också för tillägg av rötter som sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Om du grupperar dem i (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) och multiplicerar med (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) är svaret inte i rationell form, utan fortfarande i a+b*root (30) där a och b redan är rationella tal. Upprepa sedan processen med konjugaten a+b*sqrt (30) och (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) kommer att vara rationella. I huvudsak, om du kan använda det här tricket för att ta bort ett rottecken i nämnaren, kan du upprepa det många gånger för att ta bort alla rötter.
- Denna metod kan också användas för nämnare som innehåller en högre rot, till exempel den fjärde roten av 3 eller den sjunde roten av 9. Multiplicera täljaren och nämnaren med nämnarens konjugat. Tyvärr kan vi inte direkt få konjugeringen av nämnaren och det är svårt att göra det. Vi kan hitta svaret i en algebrabok om talteori, men jag går inte in på det.
Steg 2. Nu är nämnaren i rationell form, men täljaren ser rörig ut
Allt du behöver göra är att multiplicera det med konjugatet i nämnaren. Fortsätt och multiplicera som vi skulle multiplicera polynom. Kontrollera om några termer kan utelämnas, förenklas eller kombineras, om möjligt.
Steg 3. Om nämnaren är ett negativt heltal multiplicerar du både täljaren och nämnaren med -1 för att göra det positivt
Tips
- Du kan söka online efter webbplatser som kan hjälpa till att förenkla rotformerna. Skriv bara ekvationen med rottecknet, och efter att ha tryckt på Enter kommer svaret att visas.
- För enklare frågor kanske du inte använder alla stegen i den här artikeln. För mer komplexa frågor kan du behöva använda flera steg mer än en gång. Använd de "enkla" stegen några gånger och kontrollera om ditt svar passar de standardformuleringskriterier som vi diskuterade tidigare. Om ditt svar finns i standardformeln är du klar; men om inte, kan du kontrollera ett av stegen ovan för att hjälpa dig att få det gjort.
- De flesta referenser till den "rekommenderade standardformeln" för rötterna gäller också komplexa tal (i = root (-1)). Även om ett uttalande innehåller ett "i" istället för en rot, undvik nämnare som fortfarande innehåller ett i så mycket som möjligt.
- Några av instruktionerna i den här artikeln förutsätter att alla rötter är rutor. Samma allmänna principer gäller för högre makters rötter, även om vissa delar (särskilt rationalisering av nämnaren) kan vara ganska svåra att arbeta med. Bestäm själv vilken form du vill ha, till exempel sqr^3 (4) eller sqr^3 (2)^2. (Jag kommer inte ihåg vilken form som vanligtvis föreslås i läroböcker).
- Några av instruktionerna i denna artikel använder ordet "standardformel" för att beskriva "vanlig form". Skillnaden är att standardformeln endast accepterar formuläret 1+sqrt (2) eller sqrt (2) +1 och betraktar de andra formerna som icke-standard; Vanlig form förutsätter att du, läsaren, är smart nog att se "likheten" mellan dessa två siffror även om de inte är identiska i skrift ("samma" betyder i deras aritmetiska egenskap (kommutativ addition), inte deras algebraiska egenskap (rot (2) är roten icke-negativ för x^2-2)). Vi hoppas att läsarna kommer att förstå den lilla slarv vid användningen av denna terminologi.
- Om någon av ledtrådarna verkar tvetydiga eller motsägelsefulla, gör alla steg som är entydiga och konsekventa och välj sedan vilken form du föredrar.
