Matrins determinant används ofta i kalkyl, linjär algebra och geometri på en högre nivå. Utanför akademin använder datorgrafikingenjörer och programmerare hela tiden matriser och deras determinanter. Om du redan vet hur du bestämmer determinanten för en matris i storleksordningen 2x2, behöver du bara lära dig när du ska använda addition, subtraktion och tider för att bestämma determinanten för en matris av ordning 3x3.
Steg
Del 1 av 2: Bestämning av bestämningsämnen
Skriv din 3 x 3 ordermatris. Vi börjar med en matris A av ordning 3x3 och försöker hitta determinanten | A |. Nedan är den allmänna formen av matrisnotering som vi kommer att använda och ett exempel på vår matris:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Steg 1. Välj en rad eller kolumn
Gör ditt val till referensrad eller kolumn. Oavsett vad du väljer får du fortfarande samma svar. Välj tillfälligt den första raden. Vi kommer att ge dig några förslag för att välja det enklaste att beräkna alternativet i nästa avsnitt.
Välj den första raden i provmatrisen A. Cirkla numret 1 5 3. Cirkulera a i gemensam notation11 a12 a13.
Steg 2. Stryk ut raden och kolumnen i ditt första element
Titta på raden eller kolumnen du ringde in och välj det första elementet. Stryk ut raderna och kolumnerna. Det kommer bara att finnas 4 nummer orörda. Gör dessa 4 nummer till en 2 x 2 ordningsmatris.
- I vårt exempel är vår referensrad 1 5 3. Det första elementet finns i första raden och första kolumnen. Stryk hela 1: a raden och 1: a kolumnen. Skriv de återstående elementen i en 2 x 2 matris:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Steg 3. Bestäm determinanten för 2 x 2 ordningsmatrisen
Kom ihåg, bestäm determinanten för matrisen [ac bd] förbi ad - bc. Du kanske också har lärt dig att bestämma determinanten för en matris genom att rita ett X mellan en 2 x 2. Matrisen multiplicera de två siffrorna som är anslutna med raden / av X. Dra sedan ifrån antalet gånger de två talen som är anslutna med raden / är. Använd denna formel för att beräkna determinanten för en 2 x 2 matris.
- I exemplet är determinanten för matrisen [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Denna determinant kallas mindre av elementen du valde i den ursprungliga matrisen. I det här fallet har vi just hittat minor av a11.
Steg 4. Multiplicera numret som hittats med det element du valde
Kom ihåg att du har valt element från referensraden (eller kolumnen) när du bestämde vilka rader och kolumner som ska utelämnas. Multiplicera detta element med determinanten för 2 x 2 -matrisen du har hittat.
I exemplet väljer vi en11 som är 1. Multiplicera detta tal med -34 (determinanten för 2 x 2 -matrisen) för att få 1*-34 = - 34.
Steg 5. Bestäm symbolen för ditt svar
Nästa steg är att du måste multiplicera ditt svar med 1 eller -1 för att få kofaktor av det element du valde. Symbolen du använder beror på var elementen finns i matrisen 3 x 3. Kom ihåg att denna symboltabell används för att bestämma elementets multiplikator:
- + - +
- - + -
- + - +
- Eftersom vi väljer en11 som är markerat med +, multiplicerar vi talet med +1 (eller med andra ord, ändra det inte). Svaret som visas blir detsamma, nämligen - 34.
- Ett annat sätt att definiera en symbol är att använda formeln (-1) i+j där i och j är rad- och kolumnelement.
Steg 6. Upprepa denna process för det andra elementet i din referensrad eller kolumn
Återgå till den ursprungliga 3 x 3 -matrisen som du cirklade raden eller kolumnen i tidigare. Upprepa samma process med elementet:
-
Stryk ut elementets rad och kolumn.
Välj i så fall elementet a12 (vilket är värt 5). Stryk den första raden (1 5 3) och den andra kolumnen (5 4 6).
-
Vänd de återstående elementen till en 2x2 -matris.
I vårt exempel är 2x2 ordermatris för det andra elementet [24 72].
-
Bestäm determinanten för denna 2x2 -matris.
Använd ad -bc -formeln. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Multiplicera med elementen i din valda 3x3 -matris.
-24 * 5 = -120
-
Bestäm om du vill multiplicera ovanstående resultat med -1 eller inte.
Använd en tabell med symboler eller formler (-1)I j. Välj element a12 symboliserat - i symboltabellen. Ersätt vår svarsymbol med: (-1)*(-120) = 120.
Steg 7. Upprepa samma process för det tredje elementet
Du har ytterligare en kofaktor för att bestämma determinanten. Räkna i för det tredje elementet i din referensrad eller kolumn. Här är ett snabbt sätt att beräkna kofaktorn a13 i vårt exempel:
- Stryk över den första raden och den tredje kolumnen för att få [24 46].
- Determinanten är 2*6 - 4*4 = -4.
- Multiplicera med element a13: -4 * 3 = -12.
- Element a13 symbol + i symboltabellen, så svaret är - 12.
Steg 8. Lägg ihop resultaten av dina tre räkningar
Detta är det sista steget. Du har beräknat tre kofaktorer, en för varje element i en rad eller kolumn. Lägg ihop dessa resultat så hittar du determinanten för en 3 x 3 matris.
I exemplet är matrisens determinant - 34 + 120 + - 12 = 74.
Del 2 av 2: Gör problemlösning enklare
Steg 1. Välj den rad eller kolumn med referenser som har flest 0: or
Kom ihåg att du kan välja vilken rad eller kolumn du vill. Oavsett vad du väljer blir svaret detsamma. Om du väljer en rad eller kolumn med siffran 0 behöver du bara beräkna kofaktorn med element som inte är 0 eftersom:
- Välj till exempel den andra raden som har elementet a21, a22, fond23. För att lösa detta problem kommer vi att använda 3 olika 2 x 2 matriser, låt oss säga A21, A.22, Du23.
- Determinanten för 3x3 -matrisen är a21| A21| - a22| A22| + a23| A23|.
- Om en22 fond23 värde 0, kommer den befintliga formeln att vara a21| A21| - 0*| A22| + 0*| A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21|. Därför kommer vi bara att beräkna kofaktorn för endast ett element.
Steg 2. Använd extra rader för att göra matrisproblem enklare
Om du tar värdena från en rad och lägger till dem i en annan rad kommer matrisens determinant inte att ändras. Detsamma gäller kolumner. Du kan göra detta upprepade gånger eller multiplicera med en konstant innan du lägger till den för att få så många 0: or i matrisen som möjligt. Detta kan spara mycket tid.
- Till exempel har du en matris med tre rader: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- För att eliminera siffran 9 som är i position a11, kan du multiplicera värdet i den andra raden med -3 och lägga till resultatet till den första raden. Nu är den nya första raden [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Den nya matrisen har rader [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Använd samma trick på kolumner för att göra en12 vara siffran 0.
Steg 3. Använd snabbmetoden för triangulära matriser
I detta speciella fall är determinanten produkten av elementen på huvuddiagonalen, av a11 längst upp till vänster till a33 längst ner till höger i matrisen. Denna matris är fortfarande en 3x3 -matris, men "triangeln" -matrisen har ett speciellt talmönster som inte är 0:
- Övre triangulär matris: Alla element som inte är 0 är på eller över huvuddiagonalen. Alla siffror under huvuddiagonalen är 0.
- Botten triangulär matris: Alla element som inte är 0 är på eller under huvuddiagonal.
- Diagonal matris: Alla element som inte är 0 finns på huvuddiagonal (delmängden av ovanstående typer av matriser).
Tips
- Om alla element i en rad eller kolumn är 0 är matrisens determinant 0.
- Denna metod kan användas för alla storlekar av kvadratiska matriser. Till exempel, om du använder den här metoden för en matris av ordning 4x4, lämnar din "varning" en matris av ordning 3x3 vars determinant kan bestämmas genom att följa stegen ovan. Kom ihåg att det kan vara tråkigt att göra detta!
