Pythagoras sats beskriver längderna på sidorna i en rätt triangel på ett elegant och praktiskt sätt, så denna sats används fortfarande i dag. Denna sats säger att för varje rätt triangel är summan av kvadraterna på de icke-vinklade sidorna lika med kvadraten i hypotenusen. Med andra ord, för en rätt triangel med vinkelräta sidor a och b och hypotenus c, a2 + b2 = c2.
Pythagoras sats är en av grundpelarna i elementär geometri. Det finns otaliga applikationer som använder denna sats, till exempel för att göra det enkelt att hitta avståndet mellan två punkter på ett koordinatplan.
Steg
Metod 1 av 2: Hitta sidorna i en rätt triangel
Steg 1. Se till att din triangel är en rätt triangel
Pythagoras sats gäller endast rätt trianglar, så innan du fortsätter är det mycket viktigt att se till att dina trianglar överensstämmer med egenskaperna hos rätt trianglar. Lyckligtvis finns det en faktor som kan indikera att din triangel är en rätt triangel. Din triangel ska ha en 90 graders vinkel.
Som ett tecken är rätt trianglar ofta markerade med små rutor för att markera 90-graders vinklar, utan att använda böjda "kurvor". Leta efter det här märket i hörnet av din triangel
Steg 2. Ge variablerna a, b och c för sidorna i din triangel
I Pythagoras sats representerar variablerna a och b sidorna som möts vid den högra triangeln, medan variabeln c representerar hypotenusen - långsidan mittemot den rätta vinkeln. Så till att börja med, markera kortsidorna i din triangel med variablerna a och b (det spelar ingen roll om du byter dem) och markera hypotenusen med variabeln c.
Steg 3. Bestäm vilken sida av triangeln du vill lösa
Pythagoras sats gör att matematiker kan hitta längden på vilken sida som helst i en rätt triangel så länge de känner till längden på de andra två sidorna. Bestäm vilken sida som är okänd - a, b och/eller c. Om längden på en av dina sidor är okänd är du redo att gå vidare.
- Till exempel vet vi att längden på hypotenusan i en triangel är 5 och längden på en av de andra sidorna är 3, men vi är inte säkra på längden på den tredje sidan. I det här fallet vet vi att vi letar efter längden på den tredje sidan, och eftersom vi vet längden på de andra två kan vi lösa det! Vi kommer att arbeta med detta problem med följande steg.
- Om du inte känner till längden på två sidor måste du känna till en av sidorna för att kunna använda Pythagoras sats. Grundläggande trigonometriska funktioner kan hjälpa dig om du känner ena sidan av en triangel som inte är snedställd.
Steg 4. Anslut de tvåsidiga värden som du redan känner till ekvationen
Anslut längderna på sidorna av din triangel till ekvationen a2 + b2 = c2. Kom ihåg att a och b är icke-sluttande sidor, medan c är hypotenusen.
I vårt exempel vet vi längden på en av sidorna och hypotenusen (3 & 5), så ekvationen blir 3² + b² = 5²
Steg 5. Fyrkant
För att lösa din ekvation, börja med att kvadrera de kända sidorna. Alternativt, om du tycker att det här är lättare, kan du lämna sidlängderna i fyrkant och kvadrera dem senare.
-
I vårt exempel kommer vi att kvadrera 3 och 5 så att vi får
Steg 9. da
Steg 25.. Vi kan skriva ekvationen som 9 + b² = 25.
Steg 6. Flytta den okända variabeln till den andra sidan av ekvationen
Om det behövs, använd grundläggande algebraiska operationer för att få den okända variabeln att flytta till den andra sidan av ekvationen och kvadraten för de andra två variablerna till den andra sidan. Om du vill hitta längden på hypotenusan är c redan på andra sidan ekvationen, så du behöver inte göra något för att flytta den.
I vårt exempel är den nuvarande ekvationen 9 + b² = 25. För att flytta b², subtrahera båda sidorna av ekvationen med 9, så resultatet är b² = 16
Steg 7. Kvadratroten på båda sidorna av ekvationen
Nu är bara en variabel kvadrerad på ena sidan och nummer på den andra. Kvadratrot på båda sidor för att hitta längden på den okända sidan.
-
I vårt exempel, b² = 16, tar kvadratroten på båda sidor ger b = 4. Således kan vi säga att längden på den okända sidan av triangeln är
Steg 4..
Steg 8. Använd Pythagoras sats för att hitta sidorna i en riktig högra triangel
Anledningen till att Pythagoras sats används mycket idag är att den kan tillämpas på otaliga praktiska situationer. Lär dig att känna till rätt trianglar i verkliga livet - i alla situationer där två objekt eller raka linjer möter en rät vinkel och det tredje objektet eller linjen förenar de två objekten eller linjerna diagonalt, kan du använda Pythagoras sats för att hitta längden på sidan den andra, om längden på de andra två sidorna är kända.
-
Låt oss prova ett verkligt exempel som är lite svårare. En stege lutar sig mot en byggnad. Avståndet från trappans botten till väggen är 5 meter. Trappans höjd når 20 meter. Hur lång är stegen?
-
5 meter från väggen och 20 meter hög berättar längden på triangelns sidor. Eftersom väggen och marken (antas) bildar en rät vinkel och stegen står diagonalt mot väggen kan detta arrangemang betraktas som en rätt triangel med sidlängder a = 5 och b = 20. Stegen är hypotenusan, så värdet av c är inte känt. Låt oss använda Pythagoras sats:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- root (425) = c
- c = 20,6. Den ungefärliga längden på stegen är 20,6 meter.
-
Metod 2 av 2: Beräkning av avståndet mellan två punkter i XY-planet
Steg 1. Hitta två punkter i X-Y-planet
Pythagoras sats kan enkelt användas för att beräkna det raka linjeavståndet mellan två punkter i X-Y-planet. Allt du behöver veta är x- och y -koordinaterna för de två punkterna. Vanligtvis skrivs dessa koordinater ihop i formen (x, y).
För att hitta avståndet mellan dessa två punkter kommer vi att betrakta varje punkt som en av de icke-rätta vinklarna i en rätt triangel. Om du gör det blir det lätt att hitta längderna på sidorna a och b och sedan beräkna hypotenusen c, vilket är avståndet mellan de två punkterna
Steg 2. Rita dina två punkter i bilden
I ett vanligt X-Y-plan representerar varje punkt (x, y), x en horisontell koordinat och y representerar en vertikal koordinat. Du kan hitta avståndet mellan de två punkterna utan att rita det, men om du gör det får du en visuell bild som du kan använda för att se om ditt svar är korrekt.
Steg 3. Hitta längden på den icke-sluttande sidan av din triangel
Använd de två punkterna som vinklarna i triangeln intill hypotenusen, hitta längderna på sidorna a och b i triangeln. Du kan göra detta med en bild eller med formeln | x1 - x2| för den horisontella sidan och | y1 - y2| för den vertikala sidan, med (x1, y1) som den första punkten och (x2, y2) som den andra punkten.
-
Låt våra två punkter vara (6, 1) och (3, 5). Längden på den horisontella sidan av vår triangel är:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Steg 3.
-
Längden på den vertikala sidan är:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Steg 4.
- Så, i vår högra triangel, sida a = 3 och sida b = 4.
Steg 4. Använd pythagorasatsen för att hitta längden på hypotenusen
Avståndet mellan två punkter är längden på triangelns hypotenus vars två sidor du just hittade. Använd pythagorasatsen för att hitta hypotenusen, där a är längden på den första sidan och b är längden på den andra sidan.
-
I vårt exempel använder vi punkterna (3, 5) och (6, 1) vars sidlängder är 3 och 4, så vi kan hitta hypotenusen enligt följande:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = root (9+16)
- c = root (25)
-
c = 5. Avståndet mellan (3, 5) och (6, 1) är
Steg 5..
-
Tips
-
Hypotenusen är alltid:
- mittemot rätt vinkel (utan att röra vid rätt vinkel)
- längsta sidan i en rätt triangel
- kallas c i Pythagoras sats
- root (x) betyder kvadratroten av x.
- Kom ihåg att alltid kontrollera dina svar. Om ditt svar verkar fel, försök igen och försök igen.
- Om triangeln inte är en rätt triangel behöver du ytterligare information, inte bara längden på de andra två sidorna.
- Ett annat sätt att kontrollera - den längsta sidan är motsatt den största vinkeln och den kortaste sidan är mittemot den minsta vinkeln.
- Figurer är nyckeln till att skriva ner rätt värden för a, b och c. Om du arbetar med ett berättelseproblem, var noga med att skriva ner problemet i bildform först.
- Om du bara vet längden på ena sidan fungerar inte Pythagoras sats. Prova att använda trigonometri (sin, cos, tan) eller 30-60-90 / 45-45-90 förhållanden.
