3 sätt att lösa logaritmer

2024 Författare: Jason Gerald | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-15 08:24

Logaritmer kan verka svåra att lösa, men att lösa logaritmproblem är faktiskt mycket enklare än du kanske tror, eftersom logaritmer är bara ett annat sätt att skriva exponentiella ekvationer. När du har skrivit om logaritmen i en mer välbekant form, bör du kunna lösa det som med alla andra vanliga exponentiella ekvationer.

Steg

Innan du börjar: Lär dig att uttrycka logaritmiska ekvationer exponentiellt

Steg 1. Förstå definitionen av logaritm

Innan du löser logaritmiska ekvationer måste du förstå att logaritmer i grunden är ett annat sätt att skriva exponentiella ekvationer. Den exakta definitionen är följande:

• y = logg_b (x)

  Om och endast om: b^y = x

• Kom ihåg att b är basen för logaritmen. Detta värde måste uppfylla följande villkor:

  • b> 0
  • b är inte lika med 1
• I ekvationen är y exponenten och x är resultatet av att beräkna den exponential som söks i logaritmen.

Steg 2. Tänk på den logaritmiska ekvationen

När du tittar på ekvationen för problemet, leta efter basen (b), exponenten (y) och exponentialen (x).

• Exempel:

  5 = logg₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Steg 3. Flytta exponentialen till ena sidan av ekvationen

Flytta värdet på din exponentiering, x, till ena sidan av likhetstecknet.

• Till exempel:

  1024 = ?

Steg 4. Ange värdet för exponenten till dess bas

Ditt basvärde, b, måste multipliceras med samma antal värden som representeras av exponenten y.

• Exempel:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Denna ekvation kan också skrivas som: 4⁵

Steg 5. Skriv om ditt slutliga svar

Du bör nu kunna skriva om den logaritmiska ekvationen som en exponentiell ekvation. Dubbelkolla ditt svar och se till att båda sidor av ekvationen har samma värde.

• Exempel:

  4⁵ = 1024

Metod 1 av 3: Hitta värdet på X

Steg 1. Dela den logaritmiska ekvationen

Utför en omvänd beräkning för att flytta den del av ekvationen som inte är en logaritmisk ekvation till andra sidan.

• Exempel:

  logga₃(x + 5) + 6 = 10

  • logga₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • logga₃(x + 5) = 4

Steg 2. Skriv om denna ekvation i exponentiell form

Använd det du redan vet om förhållandet mellan logaritmiska ekvationer och exponentiella ekvationer, och skriv om dem i exponentiell form som är enklare och lättare att lösa.

• Exempel:

  logga₃(x + 5) = 4

  • Jämför denna ekvation med definitionen av [ y = logg_b (x)], kan du dra slutsatsen att: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Skriv om ekvationen som: b^y = x
  • 3⁴ = x + 5

Steg 3. Hitta värdet på x

När detta problem har förenklats till en grundläggande exponentiell ekvation bör du kunna lösa det precis som alla andra exponentiella ekvationer.

• Exempel:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Steg 4. Skriv ner ditt slutliga svar

Det slutliga svaret du får när du hittar värdet x är svaret på ditt ursprungliga logaritmproblem.

• Exempel:

  x = 76

Metod 2 av 3: Hitta värdet på X med hjälp av den logaritmiska tilläggsregeln

Steg 1. Förstå reglerna för att lägga till logaritmer

Den första egenskapen för logaritmer som kallas "logaritmiska additionsregeln" anger att logaritmen för en produkt är lika med summan av logaritmerna för de två värdena. Skriv denna regel i ekvationsform:

• logga_b(m * n) = logg_b(m) + logg_b(n)

• Kom ihåg att följande måste gälla:

  • m> 0
  • n> 0

Steg 2. Dela logaritmen till ena sidan av ekvationen

Använd omvända beräkningar för att flytta delar av ekvationen så att hela logaritmiska ekvationen ligger på ena sidan, medan de andra komponenterna är på andra sidan.

• Exempel:

  logga₄(x + 6) = 2 - log₄(x)

  • logga₄(x + 6) + logg₄(x) = 2 - log₄(x) + logg₄(x)
  • logga₄(x + 6) + logg₄(x) = 2

Steg 3. Tillämpa den logaritmiska additionsregeln

Om det finns två logaritmer som summeras i en ekvation kan du använda logaritmeregeln för att sätta ihop dem.

• Exempel:

  logga₄(x + 6) + logg₄(x) = 2

  • logga₄[(x + 6) * x] = 2
  • logga₄(x² + 6x) = 2

Steg 4. Skriv om denna ekvation i exponentiell form

Kom ihåg att logaritmer bara är ett annat sätt att skriva exponentiella ekvationer. Använd den logaritmiska definitionen för att skriva om ekvationen till en form som kan lösas.

• Exempel:

  logga₄(x² + 6x) = 2

  • Jämför denna ekvation med definitionen av [ y = logg_b (x)], kan du dra slutsatsen att: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Skriv om ekvationen så att: b^y = x
  • 4² = x² + 6x

Steg 5. Hitta värdet på x

När denna ekvation har förvandlats till en vanlig exponentiell ekvation, använd det du vet om exponentialekvationer för att hitta värdet på x som du normalt skulle göra.

• Exempel:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Steg 6. Skriv ner dina svar

Vid denna tidpunkt bör du ha svaret på ekvationen. Skriv ditt svar i det angivna utrymmet.

• Exempel:

  x = 2

• Observera att du inte kan ge ett negativt svar för logaritmen, så att du kan bli av med svaret x - 8.

Metod 3 av 3: Hitta värdet av X med hjälp av den logaritmiska uppdelningsregeln

Steg 1. Förstå den logaritmiska uppdelningsregeln

Baserat på logaritmernas andra egenskap, känd som "logaritmisk delningsregel", kan logaritmen för en division skrivas om genom att subtrahera logaritmen för nämnaren från täljaren. Skriv denna ekvation enligt följande:

• logga_b(m/n) = logg_b(m) - logg_b(n)

• Kom ihåg att följande måste gälla:

  • m> 0
  • n> 0

Steg 2. Dela den logaritmiska ekvationen till ena sidan

Innan du löser logaritmiska ekvationer måste du överföra alla logaritmiska ekvationer till ena sidan av likhetstecknet. Den andra halvan av ekvationen måste flyttas till andra sidan. Använd omvända beräkningar för att lösa det.

• Exempel:

  logga₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)

  • logga₃(x + 6) - logg₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - logg₃(x - 2)
  • logga₃(x + 6) - logg₃(x - 2) = 2

Steg 3. Tillämpa den logaritmiska uppdelningsregeln

Om det finns två logaritmer i en ekvation, och en av dem måste subtraheras från den andra, kan och bör du använda divisionsregeln för att sammanföra dessa två logaritmer.

• Exempel:

  logga₃(x + 6) - logg₃(x - 2) = 2

  logga₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Steg 4. Skriv denna ekvation i exponentiell form

När bara en logaritmisk ekvation återstår använder du den logaritmiska definitionen för att skriva den i exponentiell form, vilket eliminerar loggen.

• Exempel:

  logga₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Jämför denna ekvation med definitionen av [ y = logg_b (x)], kan du dra slutsatsen att: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Skriv om ekvationen som: b^y = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Steg 5. Hitta värdet på x

När ekvationen är exponentiell bör du kunna hitta värdet på x som du normalt skulle göra.

• Exempel:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24/8
  • x = 3

Steg 6. Skriv ner ditt slutliga svar

Undersök och dubbelkolla dina beräkningssteg. När du är säker på att svaret är korrekt skriver du ner det.

• Exempel:

  x = 3