Varje funktion har två variabler, nämligen den oberoende variabeln och den beroende variabeln. Bokstavligen värdet av den beroende variabeln "beror" på den oberoende variabeln. Till exempel i funktionen y = f (x) = 2 x + y är x den oberoende variabeln och y är den beroende variabeln (med andra ord, y är en funktion av x). Giltiga värden för den kända variabeln x kallas "ursprungsdomäner". Giltiga värden för den kända y -variabeln kallas "resultatintervall".
Steg
Del 1 av 3: Hitta en funktions domän
Steg 1. Bestäm vilken typ av funktion du ska utföra
Funktionens domän är alla x-värden (horisontell axel) som returnerar giltiga y-värden. Ekvationen för funktionen kan vara en kvadratisk, en bråkdel eller innehålla en rot. För att beräkna funktionens domän är det första du måste göra att undersöka variablerna i ekvationen.
- En kvadratisk funktion har formen ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Exempel på funktioner med fraktioner inkluderar: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), och andra.
- Funktioner som har rötter inkluderar: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x, och så vidare.
Steg 2. Skriv ner domänen med rätt notation
Att skriva domänen för en funktion innebär att både hakparenteser [,] och parenteser (,) används. Använd hakparenteser [,] om numret tillhör domänen och använd hakparenteser (,) om domänen inte innehåller numret. Bokstaven U betecknar en förening som förbinder delar av domänen som kan separeras med ett avstånd.
- Till exempel inkluderar domänen för [-2, 10) U (10, 2] -2 och 2, men inkluderar inte talet 10.
- Använd alltid parenteser () om du använder oändlighetssymbolen,.
Steg 3. Rita ett diagram över den kvadratiska ekvationen
Kvadratiska ekvationer ger en parabolisk graf som öppnas upp eller ner. Med tanke på att parabolen kommer att fortsätta oändligt på x-axeln är domänen för de flesta kvadratiska ekvationer alla reella tal. Sagt på ett annat sätt, en kvadratisk ekvation innehåller alla x-värden på talraden, vilket ger domänen R (symbol för alla reella tal).
- För att lösa funktionen, välj vilket x-värde som helst och ange det i funktionen. Att lösa en funktion med ett x-värde returnerar ett y-värde. Värdena för x och y är (x, y) koordinaterna för ett diagram över funktionen.
- Rita upp dessa koordinater på ett diagram och upprepa processen med ett annat x-värde.
- Att rita upp några av värdena i den här modellen ger dig en överblick över formen på den kvadratiska funktionen.
Steg 4. Om funktionens ekvation är en bråkdel, gör nämnaren lika med noll
När du arbetar med bråk kan du aldrig dela med noll. Genom att göra nämnaren lika med noll och hitta värdet på x kan du beräkna värdena som ska extraheras från funktionen.
- Till exempel: Bestäm domänen för funktionen f (x) = (x+1)/(x - 1).
- Nämnaren för funktionen är (x - 1).
- Gör nämnaren lika med noll och beräkna värdet av x: x - 1 = 0, x = 1.
- Skriv ner domänen: Funktionens domän inkluderar inte 1, men innehåller alla reella tal utom 1; därför är domänen (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) kan läsas som en samling av alla reella tal utom 1. Symbolen för oändlighet,, representerar alla reella tal. I det här fallet ingår alla reella tal större än 1 och mindre än 1 i domänen.
Steg 5. Om ekvationen är en rotfunktion, gör rotvariablerna större än eller lika med noll
Du kan inte använda kvadratroten i ett negativt tal; därför måste varje x-värde som leder till ett negativt tal tas bort från funktionens domän.
- Till exempel: Hitta domänen för funktionen f (x) = (x + 3).
- Variablerna i roten är (x + 3).
- Gör värdet större än eller lika med noll: (x + 3) 0.
- Beräkna värdet för x: x -3. Lös för x: x -3.
- Funktionens domän inkluderar alla reella tal som är större än eller lika med -3; därför är domänen [-3,).
Del 2 av 3: Hitta räckvidden för en kvadratisk ekvation
Steg 1. Se till att du har en kvadratisk funktion
Den kvadratiska funktionen har formen ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Diagrammet för den kvadratiska funktionen är en parabel som öppnas upp eller ner. Det finns olika sätt att beräkna funktionsomfånget beroende på vilken typ av funktion du arbetar med.
Det enklaste sättet att bestämma intervallet för andra funktioner, till exempel en rotfunktion eller en fraktionsfunktion, är att plotta funktionen med en grafräknare
Steg 2. Hitta x-värdet för funktionens toppunkt
Spetsen för en kvadratisk funktion är parabelns hörn. Kom ihåg att formen för den kvadratiska funktionen är ax2 + bx + c. Använd ekvationen x = -b/2a för att hitta x -koordinaten. Ekvationen är ett derivat av en grundläggande kvadratisk funktion som representerar en ekvation med en nolllutning/lutning (vid grafens hörn är funktionens gradient noll).
- Hitta till exempel intervallet 3x2 + 6x -2.
- Beräkna x -koordinaten för hörnpunkten: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Steg 3. Beräkna y-värdet för funktionens hörn
Anslut x-koordinaten till funktionen för att beräkna motsvarande y-värde för toppunktet. Detta y-värde anger gränsen för funktionens intervall.
- Beräkna y-koordinaten: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Spetsen för denna funktion är (-1, -5).
Steg 4. Bestäm parabolens riktning genom att koppla in minst ytterligare ett x-värde
Välj något annat x-värde och koppla in det i funktionen för att beräkna lämpligt y-värde. Om y-värdet är över toppunktet fortsätter parabolen till +∞. Om y -värdet är under toppunktet fortsätter parabolen till -∞.
- Använd x -värde -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Denna beräkning returnerar koordinaterna (-2, -2).
- Dessa koordinater visar att parabolen fortsätter ovanför toppunktet (-1, -5); därför omfattar intervallet alla y -värden högre än -5.
- Området för denna funktion är [-5,).
Steg 5. Skriv ner intervallet med rätt notation
Precis som domäner skrivs intervall med samma notation. Använd hakparenteser [,] om siffran ligger i intervallet och använd hakparenteser (,) om intervallet inte innehåller numret. Bokstaven U anger en förening som förbinder delar av intervallet som kan separeras med ett avstånd.
- Till exempel inkluderar intervallet [-2, 10) U (10, 2] -2 och 2, men inkluderar inte talet 10.
- Använd alltid parenteser om du använder oändlighetssymbolen,.
Del 3 av 3: Hitta intervallet från diagrammet för en funktion
Steg 1. Rita funktionen
Ofta är det enklaste sättet att bestämma intervallet för en funktion att rita den. Många rotfunktioner har ett intervall (-∞, 0] eller [0, +∞) eftersom hörnet för den horisontella parabeln (sidledes parabel) är på den horisontella x-axeln. I detta fall innehåller funktionen alla positiva y-värden om parabolen öppnas, eller alla negativa y-värden om parabolen öppnas nedåt. Fraktionella funktioner kommer att ha asymptoter (linjer som aldrig skärs av en rak linje / kurva men närmar sig oändligt) som definierar funktionens intervall.
- Vissa rotfunktioner startar ovanför eller under x-axeln. I detta fall bestäms intervallet av numret där rotfunktionen startar. Om parabolen börjar med y = -4 och går uppåt är intervallet [-4, +∞).
- Det enklaste sättet att rita en funktion är att använda ett grafprogram eller en grafräknare.
- Om du inte har en grafräknare kan du rita en grov skiss av grafen genom att koppla in x-värdet i funktionen och få rätt y-värde. Rita upp dessa koordinater på ett diagram för att få en uppfattning om hur grafen ser ut.
Steg 2. Hitta funktionens minsta värde
Omedelbart efter att du ritat funktionen bör du tydligt kunna se grafens lägsta punkt. Om det inte finns något tydligt minimivärde, vet du att vissa funktioner fortsätter vid -∞ (oändligt).
En bråkfunktion inkluderar alla punkter utom de på asymptoterna. Funktionen har ett intervall som (-∞, 6) U (6,)
Steg 3. Bestäm maxvärdet för funktionen
Återigen, efter att ha ritat diagrammet, bör du kunna identifiera funktionens maximala punkt. Vissa funktioner fortsätter vid +∞ och har därför inte ett minimivärde.
Steg 4. Skriv intervallet med rätt notation
Precis som domäner skrivs intervall med samma notation. Använd hakparenteser [,] om siffran ligger i intervallet och använd hakparenteser (,) om intervallet inte innehåller numret. Bokstaven U anger en förening som förbinder delar av intervallet som kan separeras med ett avstånd.
- Till exempel inkluderar intervallet [-2, 10) U (10, 2] -2 och 2, men inkluderar inte talet 10.
- Använd alltid parenteser om du använder oändlighetssymbolen,.
