Derivat kan användas för att härleda användbara egenskaper från en graf, till exempel max-, minimum-, topp-, dal- och lutningsvärden. Du kan till och med använda den för att rita komplexa ekvationer utan en grafräknare! Tyvärr är det ofta tråkigt att arbeta med derivat, men den här artikeln hjälper dig med några tips och tricks.
Steg
Steg 1. Förstå härledd notation
Följande två noteringar är de vanligaste, även om många andra kan hittas här på Wikipedia.
- Leibniz Notation Denna notation är den vanligaste notationen när ekvationen innefattar y och x. dy/dx betyder bokstavligen derivatet av y med avseende på x. Det kan vara användbart att tänka på det som y/Δx för mycket olika värden på x och y. Denna förklaring leder till definitionen av derivatgränsen: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. När du använder denna notation för det andra derivatet bör du skriva: d2y/dx2.
- Lagrange -notation Derivatet av funktionen f är också skrivet som f '(x). Denna notering lyder f accentuerad x. Denna notation är kortare än Leibnizs notation och är användbar när derivat ses som funktioner. För att bilda en större grad av derivat, lägg bara till 'till f, så blir det andra derivatet f' '(x).
Steg 2. Förstå betydelsen av derivatet och orsakerna till nedstigningen
Först, för att hitta lutningen för ett linjärt diagram, tas två punkter på linjen och deras koordinater matas in i ekvationen (y2 - y1)/(x2 - x1). Den kan dock bara användas för linjära grafer. För kvadratiska ekvationer och högre kommer linjen att vara en kurva, så att hitta skillnaden mellan två punkter är inte särskilt exakt. För att hitta tangentens lutning i ett kurvdiagram tas två punkter och sättas in i den allmänna ekvationen för att hitta kurvens grafens lutning: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx betecknar delta x, vilket är skillnaden mellan två x -koordinater vid två punkter i grafen. Observera att denna ekvation är densamma som (y2 - y1)/(x2 - x1), bara i en annan form. Eftersom det var känt att resultaten skulle bli oprecisa tillämpades en indirekt metod. För att hitta tangentens lutning på (x, f (x)) måste dx vara nära 0, så att de två dragna punkterna smälter samman till en punkt. Du kan dock inte dela 0, så när du har angett tvåpunktsvärdena måste du använda factoring och andra metoder för att ta bort dx från ekvationens botten. När du har gjort det gör du dx 0 och du är klar. Detta är lutningen för tangenten på (x, f (x)). Derivatet av en ekvation är den allmänna ekvationen för att hitta lutningen för en tangent på en graf. Detta kan verka mycket komplicerat, men det finns några exempel nedan som hjälper dig att förklara hur man får derivatet.
Metod 1 av 4: Explicit Derivatives
Steg 1. Använd ett uttryckligt derivat om din ekvation redan har y på ena sidan
Steg 2. Anslut ekvationen till ekvationen [f (x + dx) - f (x)]/dx
Till exempel, om ekvationen är y = x2, derivatet blir [(x + dx)2 - x2]/dx.
Steg 3. Expandera och ta bort dx för att bilda ekvationen [dx (2x + dx)]/dx
Nu kan du gjuta två dx på toppen och botten. Resultatet är 2x + dx, och när dx närmar sig noll är derivatet 2x. Detta betyder att lutningen för valfri tangens i grafen y = x2 är 2x. Ange bara x-värdet för den punkt som du vill hitta lutningen för.
Steg 4. Lär dig mönster för att härleda liknande ekvationer
Här är några exempel.
- Varje exponent är effekten gånger värdet, höjt till effekten mindre än 1. Till exempel derivatet av x5 är 5x4och derivatet av x3, 5 iis3, 5x2, 5. Om det redan finns ett tal framför x, multiplicera det bara med kraften. Till exempel derivatet av 3x4 är 12x3.
- Derivatet av en konstant är noll. Så härledningen av 8 är 0.
- Derivat av summan är summan av respektive derivat. Till exempel derivatet av x3 + 3x2 är 3x2 + 6x.
- Produktens derivat är den första faktorn gånger den andra faktorens derivat plus den andra faktorn gånger den första faktorens derivat. Till exempel derivatet av x3(2x + 1) är x3(2) + (2x + 1) 3x2, vilket är lika med 8x3 + 3x2.
- Derivatet av kvoten (säg f/g) är [g (derivat av f) - f (derivat av g)]/g2. Till exempel derivatet av (x2 + 2x - 21)/(x - 3) är (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metod 2 av 4: Implicita derivat
Steg 1. Använd implicita derivat om din ekvation inte redan kan skrivas med y på ena sidan
Faktum är att om du skrev y på ena sidan skulle det vara tråkigt att beräkna dy/dx. Här är ett exempel på hur du kan lösa denna typ av ekvation.
Steg 2. I det här exemplet, x2y + 2y3 = 3x + 2y, ersätt y med f (x), så kommer du ihåg att y faktiskt är en funktion.
Ekvationen blir då x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Steg 3. För att hitta härledningen till ekvationen härleder du båda sidorna av ekvationen med avseende på x
Ekvationen blir då x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Steg 4. Ersätt f (x) med y igen
Var försiktig så att du inte ersätter f '(x), som skiljer sig från f (x).
Steg 5. Hitta f '(x)
Svaret för detta exempel blir (3 - 2xy)/(x2 + 6 år2 - 2).
Metod 3 av 4: Derivat av högre order
Steg 1. Att härleda en funktion av högre ordning betyder att du härleder derivatet (till ordning 2)
Till exempel, om problemet ber dig att härleda tredje ordningen, ta bara derivatan av derivatet av derivatet. För vissa ekvationer kommer derivatet av högre ordning vara 0.
Metod 4 av 4: Kedjeregel
Steg 1. Om y är en differentialfunktion för z, och z är en differentialfunktion för x, är y en sammansatt funktion av x, och derivatet av y med avseende på x (dy/dx) är (dy/du)* (du/dx)
Kedjeregeln kan också vara en kombination av effektekvationer, så här: (2x4 - x)3. För att hitta derivatet, tänk på det som multiplikationsregeln. Multiplicera ekvationen med effekten och minska med 1 till effekten. Multiplicera sedan ekvationen med derivatet av ekvationen inom parentes som höjer effekten (i detta fall 2x^4 - x). Svaret på denna fråga är 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Tips
- Oroa dig inte när du ser ett svårt problem att lösa. Försök bara dela upp den i så många mindre delar som möjligt genom att tillämpa reglerna för multiplikation, kvot etc. Sänk sedan varje del.
- Öva med multiplikationsregeln, kvotregeln, kedjeregeln och särskilt implicita derivat, eftersom dessa regler är mycket svårare i kalkyl.
- Förstå din räknare väl; prova de olika funktionerna i din räknare för att lära dig hur du använder dem. Det är mycket användbart att veta hur man använder tangenter och derivatfunktioner i din räknare om de är tillgängliga.
- Kom ihåg de grundläggande trigonometriska derivaten och hur du använder dem.
