En kvadratisk ekvation är en ekvation vars högsta grad är 2 (kvadrat). Det finns tre huvudsakliga sätt att lösa en kvadratisk ekvation: fakturering av den kvadratiska ekvationen om du kan, med hjälp av en kvadratisk formel eller att fylla i kvadraten. Om du vill behärska dessa tre metoder följer du dessa steg.
Steg
Metod 1 av 3: Factoring Equations
Steg 1. Kombinera alla lika variabler och flytta dem till ena sidan av ekvationen
Det första steget för att faktorera en ekvation är att flytta alla lika variabler till ena sidan av ekvationen, med x2är positivt. För att kombinera variabler, lägg till eller subtrahera alla variabler x2, x och konstanter (heltal), flytta dem till den andra sidan av ekvationen så att inget finns kvar på andra sidan. När den andra sidan inte har några variabler kvar, skriv ett 0 bredvid likhetstecknet. Så här gör du:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Steg 2. Faktor denna ekvation
För att faktorera denna ekvation måste du använda faktorn x2 (3) och den konstanta faktorn (-4), multiplicera dem och lägga till dem så att de passar variabeln i mitten, (-11). Så här gör du:
- 3x2 har bara en möjlig faktor som är, 3x och x, du kan skriva dem inom parentes: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Använd sedan elimineringsprocessen för att faktor 4 för att hitta produkten som ger -11x. Du kan använda produkten av 4 och 1, eller 2 och 2, för när du multiplicerar båda får du 4. Men kom ihåg att ett av siffrorna måste vara negativt eftersom resultatet är -4.
- Prova (3x + 1) (x - 4). När du multiplicerar det blir resultatet - 3x2 -12x +x -4. Om du kombinerar variablerna -12 x och x blir resultatet -11x, vilket är ditt mellersta värde. Du har just tagit med en kvadratisk ekvation.
- Låt oss till exempel försöka faktorisera den andra produkten: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Om du kombinerar variablerna blir resultatet 3x2 -4x -4. Även om faktorerna -2 och 2 när de multipliceras producerar -4, är medelvärdet inte detsamma eftersom du vill få ett värde på -11x istället för -4x.
Steg 3. Antag att varje parentes är noll i en annan ekvation
Detta låter dig hitta 2 x värden som gör din ekvation noll. Du har räknat in din ekvation, så allt du behöver göra är att anta att beräkningen i varje parentes är lika med noll. Således kan du skriva 3x + 1 = 0 och x - 4 = 0.
Steg 4. Lös varje ekvation separat
I en kvadratisk ekvation finns det 2 värden för x. Lös varje ekvation separat genom att flytta variablerna och skriva ner 2 svar för x, så här:
-
Lös 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. genom att subtrahera
- 3x/3 = -1/3….. genom att dela
- x = -1/3….. genom att förenkla
-
Lös x - 4 = 0
x = 4….. genom att subtrahera
- x = (-1/3, 4)….. genom att göra flera möjliga svar åtskilda, vilket betyder att x = -1/3 eller x = 4 kan båda vara korrekta.
Steg 5. Kontrollera x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Således får vi (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. genom att ersätta (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. genom att förenkla (0) (-4 1/3) = 0….. genom att multiplicera Så, 0 = 0….. Ja, x = -1/3 är sant.
Steg 6. Kontrollera x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Således får vi (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. genom att ersätta (13) (4 - 4)? =? 0….. genom att förenkla (13) (0) = 0….. genom att multiplicera Så, 0 = 0….. Ja, x = 4 är också sant.
Så, efter att ha kontrollerat separat, är båda svaren korrekta och kan användas i ekvationer
Metod 2 av 3: Använda den kvadratiska formeln
Steg 1. Kombinera alla lika variabler och flytta dem till ena sidan av ekvationen
Flytta alla variabler till ena sidan av ekvationen, med värdet på variabeln x2 positiv. Skriv ner variablerna med sekventiella exponenter, så att x2 skrivs först, följt av variabler och konstanter. Så här gör du:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Steg 2. Skriv ner den kvadratiska formeln
Den kvadratiska formeln är: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Steg 3. Bestäm värdena för a, b och c från den kvadratiska ekvationen
Variabel a är koefficienten x2, b är koefficienten för variabeln x, och c är en konstant. För 3x. Ekvationen2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 och c = -8. Skriv ner alla tre.
Steg 4. Ersätt värdena för a, b och c i ekvationen
När du känner till de tre variabelvärdena ansluter du dem till en ekvation så här:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Steg 5. Utför beräkningar
När du har angett siffrorna gör du en matematik för att förenkla det positiva eller negativa tecknet, multiplicera eller kvadrera de återstående variablerna. Så här gör du:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Steg 6. Förenkla kvadratroten
Om talet under kvadratroten är en perfekt kvadrat får du ett helt tal. Om siffran inte är en perfekt kvadrat, förenkla den till sin enklaste rotform. Om talet är negativt och du tror att det borde vara negativt kommer rotvärdet att bli komplicerat. I det här exemplet (121) = 11. Du kan skriva x = (5 +/- 11)/6.
Steg 7. Leta efter de positiva och negativa svaren
När du har tagit bort kvadratrotsskylten kan du arbeta dig fram till att hitta ett positivt och negativt resultat för x. Nu när du har (5 +/- 11)/6 kan du skriva 2 svar:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Steg 8. Slutför de positiva och negativa svaren
Utför matematiska beräkningar:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Steg 9. Förenkla
För att förenkla varje svar, dividera med det största antalet som kan dela båda talen. Dela den första fraktionen med 2 och dela den andra med 6, och du har hittat värdet x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metod 3 av 3: Slutför torget
Steg 1. Flytta alla variabler till ena sidan av ekvationen
Se till att a eller variabel x2 positiv. Så här gör du:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
I denna ekvation är variabel a 2, variabel b är -12 och variabel c är -9
Steg 2. Flytta variabeln eller konstanten c till andra sidan
Konstanter är numeriska termer utan variabler. Flytta till höger sida av ekvationen:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Steg 3. Dela båda sidorna med koefficienten a eller variabeln x2.
Om x2 inte har en variabel och koefficienten är 1 kan du hoppa över detta steg. I det här fallet måste du dela alla variabler med 2, så här:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Steg 4. Dela b med 2, kvadrera det och lägg till resultatet på båda sidor
Värdet av b i detta exempel är -6. Så här gör du:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Steg 5. Förenkla båda sidor
Faktorera variabeln på vänster sida för att få (x-3) (x-3) eller (x-3)2. Lägg till värdena till höger för att få 9/2 + 9 eller 9/2 + 18/2, vilket är 27/2.
Steg 6. Hitta kvadratroten på båda sidor
Kvadratrot av (x-3)2 är (x-3). Du kan skriva kvadratroten på 27/2 som ± √ (27/2). Alltså x - 3 = ± √ (27/2).
Steg 7. Förenkla rötterna och hitta värdet av x
För att förenkla ± √ (27/2), hitta den perfekta kvadraten mellan siffrorna 27 och 2 eller faktor det talet. Den perfekta kvadraten med 9 kan hittas i 27 eftersom 9 x 3 = 27. För att ta 9 ur kvadratroten, ta 9 ur roten och skriv 3, kvadratroten, utanför kvadratroten. Lämna resten 3 i täljaren av fraktionen under kvadratroten, eftersom 27 inte räknar ut alla faktorer och skriv ner 2 nedan. Flytta sedan konstanten 3 på vänster sida av ekvationen till höger och skriv dina två lösningar för x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Tips
- Som du ser kommer inte rotmärkena att försvinna helt. Således kan täljvariablerna inte kombineras (eftersom de inte är lika). Det är ingen idé att skilja det till positivt eller negativt. Vi kan dock dela det med samma faktor, men ENDAST om faktorerna är desamma för båda konstanterna OCH rotkoefficient.
- Om talet under kvadratroten inte är en perfekt kvadrat, så är de sista stegen lite annorlunda. Här är ett exempel:
- Om b är ett jämnt tal blir formeln: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
