Hur man förenklar komplexa fraktioner: 9 steg (med bilder)

2024 Författare: Jason Gerald | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-15 08:24

En komplex bråkdel är en bråkdel där täljaren, nämnaren eller båda också innehåller en bråkdel. Av denna anledning kallas komplexa fraktioner ibland som "staplade fraktioner". Förenkling av komplexa bråk kan vara lätt eller svårt, beroende på hur många tal som finns i täljaren och nämnaren, om ett av talen är en variabel eller variabelns komplexitet. Se steg 1 nedan för att komma igång!

Steg

Metod 1 av 2: Förenkling av komplexa fraktioner med omvänd multiplikation

Steg 1. Förenkla täljaren och nämnaren till en enda bråkdel om det behövs

Komplexa fraktioner är inte alltid svåra att lösa. Faktum är att komplexa fraktioner vars täljare och nämnare innehåller en enda bråk är oftast ganska enkla att lösa. Så om täljaren eller nämnaren (eller båda) i en komplex bråkdel innehåller flera fraktioner eller fraktioner och ett heltal, förenkla det för att få en enda bråk i både täljaren och nämnaren. Hitta den minst gemensamma multipeln (LCM) av två eller flera fraktioner.

• Låt oss till exempel säga att vi vill förenkla en komplex bråkdel (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Först kommer vi att förenkla både täljaren och nämnaren för en komplex bråkdel till en enda bråk.

  • För att förenkla täljaren, använd LCM 15 som erhållits genom att multiplicera 3/5 med och 3/3. Räknaren blir 9/15 + 2/15, vilket motsvarar 11/15.
  • För att förenkla nämnaren använder vi LCM -resultatet 70 som erhålls genom att multiplicera 5/7 med 10/10 och 3/10 med 7/7. Nämnaren blir 50/70 - 21/70, vilket motsvarar 29/70.
  • Således är den nya komplexa fraktionen (11/15)/(29/70).

Steg 2. Vänd nämnaren för att hitta dess ömsesidiga

Definitionen är att dividera ett tal med ett annat är detsamma som att multiplicera det första talet med det andra talets ömsesidiga. Nu när vi har en komplex bråkdel med en enda bråk i både täljaren och nämnaren, kommer vi att använda denna division för att förenkla den komplexa fraktionen. Hitta först det ömsesidiga av fraktionen längst ner i den komplexa fraktionen. Gör detta genom att "vända" fraktionen - sätta täljaren i stället för nämnaren och vice versa.

• I vårt exempel är fraktionen i nämnaren för den komplexa fraktionen (11/15)/(29/70) 29/70. För att hitta det inversa, "inverterar" vi det så att vi får 70/29.

  Observera att om en komplex bråkdel har ett heltal i nämnaren kan vi behandla det som en bråkdel och hitta dess ömsesidiga. Om den komplexa fraktionen till exempel är (11/15)/(29) kan vi göra nämnaren 29/1, vilket betyder att det ömsesidiga är 1/29.

Steg 3. Multiplicera täljaren för den komplexa fraktionen med nämnarens ömsesidiga

Nu när vi har det ömsesidiga av nämnaren för den komplexa fraktionen, multiplicera den med täljaren för att få en enda enkel bråk. Kom ihåg att för att multiplicera två fraktioner korsar vi bara multiplicera - täljaren för den nya fraktionen är numret på täljaren för de två gamla fraktionerna, liksom nämnaren.

I vårt exempel multiplicerar vi 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 och 15 × 29 = 435. Så, den nya enkla fraktionen är 770/435.

Steg 4. Förenkla den nya fraktionen genom att hitta den största gemensamma faktorn

Vi har redan en enkel bråkdel, så allt vi behöver göra är att komma på det enklaste talet. Hitta täljarens och nämnarens största gemensamma faktor (GCF) och dela båda med detta tal för att förenkla det.

En av de vanliga faktorerna för 770 och 435 är 5. Så, om vi delar täljaren och nämnaren för fraktionen med 5, får vi 154/87. 154 och 87 har inga gemensamma faktorer, så det är det slutliga svaret!

Metod 2 av 2: Förenkling av komplexa fraktioner som innehåller variabla nummer

Steg 1. Använd om möjligt multiplikationsmetoden ovan

För att vara tydlig kan nästan alla komplexa fraktioner förenklas genom att subtrahera täljaren och nämnaren med en enda bråkdel och multiplicera täljaren med nämnarens ömsesidiga. Komplexa fraktioner som innehåller variabler ingår också, även om ju mer komplext uttrycket av variabler i komplexa fraktioner är, desto svårare och tidskrävande blir det att använda omvänd multiplikation. För "enkla" komplexa fraktioner som innehåller variabler är invers multiplikation ett bra val, men komplexa fraktioner med flera variabla tal i täljaren och nämnaren kan vara lättare att förenkla på det alternativa sätt som beskrivs nedan.

• Till exempel är (1/x)/(x/6) lätt att förenkla med omvänd multiplikation. 1/x × 6/x = 6/x². Det finns ingen anledning att använda alternativa metoder här.
• Men (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))) är svårare att förenkla med omvänd multiplikation. Att minska täljaren och nämnaren av komplexa fraktioner till enstaka fraktioner, multiplicera omvänt och reducera resultatet till de enklaste talen kan vara en komplicerad process. I det här fallet kan den alternativa metoden nedan vara enklare.

Steg 2. Om omvänd multiplikation inte är praktisk, börja med att hitta LCM för bråktalet i den komplexa fraktionen

Det första steget är att hitta LCM för alla bråktal i en komplex bråkdel - både i täljaren och nämnaren. Vanligtvis, om ett eller flera bråktal har ett tal i nämnaren, är LCM talet i nämnaren.

Detta är lättare att förstå med ett exempel. Låt oss försöka förenkla de komplexa fraktionerna som nämns ovan, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Bråktalen i denna komplexa bråk är (1)/(x+3) och (1)/(x-5). LCM för de två fraktionerna är talet i nämnaren: (x+3) (x-5).

Steg 3. Multiplicera täljaren för den komplexa fraktionen med den nyligen hittade LCM

Därefter måste vi multiplicera talet i den komplexa fraktionen med LCM för bråktalet. Med andra ord kommer vi att multiplicera alla komplexa fraktioner med (KPK)/(KPK). Vi kan göra detta oberoende eftersom (KPK)/(KPK) är lika med 1. Multiplicera först själva täljarna.

• I vårt exempel kommer vi att multiplicera den komplexa fraktionen, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), dvs ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Vi måste multiplicera genom täljaren och nämnaren för den komplexa fraktionen och multiplicera varje tal med (x + 3) (x-5).

  • Låt oss först multiplicera täljarna: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = x³ - 12x² +6x +145

Steg 4. Multiplicera nämnaren för den komplexa fraktionen med LCM som du skulle med täljaren

Fortsätt multiplicera den komplexa fraktionen med LCM som hittats genom att gå vidare till nämnaren. Multiplicera alla, multiplicera varje nummer med LCM.

• Nämnaren för vår komplexa fraktion, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), är x +4 +((1) // (x-5)). Vi kommer att multiplicera det med LCM som hittats, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

Steg 5. Skapa en ny och förenklad bråkdel från den nyligen hittade täljaren och nämnaren

Efter att ha multiplicerat fraktionen med (KPK)/(KPK) och förenklat den genom att kombinera talen blir resultatet en enkel bråkdel som inte innehåller ett bråktal. Observera att genom att multiplicera med LCM för bråktalet i den ursprungliga komplexa fraktionen, kommer nämnaren för denna bråk att vara uttömd och lämna variabelnumret och heltalet i svarets räknare och nämnare, utan några bråk.

Med täljaren och nämnaren ovan kan vi konstruera en bråkdel som är densamma som den ursprungliga komplexa fraktionen, men som inte innehåller bråktalet. Räknaren som erhölls är x³ - 12x² + 6x + 145 och nämnaren vi fick var x³ + 2x² - 22x - 57, så den nya fraktionen blir (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Tips

• Visa varje steg i jobbet. Bråk kan vara förvirrande om stegen räknar för snabbt eller försöker göra det utantill.
• Hitta exempel på komplexa fraktioner på internet eller i böcker. Följ varje steg tills det kan bemästras.