Även om det ibland kan verka skrämmande är kvadratrotsproblemet faktiskt inte så svårt att lösa. Enkla kvadratrotproblem kan vanligtvis lösas lika enkelt som grundläggande multiplikations- och divisionsproblem. För mer komplexa frågor krävs lite extra ansträngning. Men med rätt tillvägagångssätt kan alla svåra problem lösas. Genom den här artikeln hjälper vi dig att lösa problem med kvadratroten i några enkla steg.
Steg
Del 1 av 3: Förstå rutor och kvadratrötter
Steg 1. Kvadraten är talet multiplicerat med själva talet
För att förstå kvadratroten är det bra att först förstå kvadratens betydelse. Enkelt uttryckt är en ruta ett tal multiplicerat med själva talet. Till exempel, 3 i kvadrat är 3 gånger 3 = 9 och 9 i kvadrat är 9 gånger 9 = 81. Kvadraten representeras av de små 2 längst upp till höger om antalet i kvadrat - så här: 32, 92, 1002, etc.
Prova att kvadrera några andra siffror för att testa detta koncept. Kom ihåg att kvadrering av ett tal multiplicerar ett tal med sig själv. Du kan till och med kvadrera negativa tal. Resultatet blir alltid ett positivt tal. Till exempel -82 = -8 × -8 = 64.
Steg 2. Kvadratroten är kvadratens ömsesidiga
Symbolen för kvadratroten (√, även känd som "radikal" -symbolen) är i huvudsak motsatsen till symbolen 2. När du hittar en radikal, fråga dig själv: vilket tal, om det kvadreras, skulle resultera i antalet inuti radikalen? Till exempel, om du tittar på √ (9), hitta numret som när kvadrat är nio. Således är svaret "tre", eftersom 32 = 9.
-
Som ett annat exempel, låt oss försöka hitta kvadratroten på 25 (√ (25)). Det vill säga, vi letar efter ett tal som i kvadrat är resultatet 25. Eftersom 52 = 5 × 5 = 25, sedan (25) =
Steg 5..
-
Kvadratroten kan också anses vara att "ångra" rutan. Till exempel, om vi vill hitta (64), kvadratroten på 64, tänk sedan på 64 som 82. Eftersom kvadratrotsymbolen i huvudsak”förnekar” fyrkantssymbolen, därför (64) = (82) =
Steg 8..
Steg 3. Vet skillnaden mellan perfekta och ofullkomliga rutor
Fram till nu var resultaten av våra kvadratrotsberäkningar hela tal. Frågorna som du kommer att möta senare kommer inte att vara så enkla, det kommer att finnas frågor med decimalnummer med några siffror bakom kommatecken. Tal som avrundas efter kvadrering (det vill säga inte bråk eller decimaltal) kallas också "perfekta rutor". Alla föregående exempel (9, 25 och 64) är perfekta kvadrater för om de är kvadraterade blir resultatet ett heltal (3, 5 och 8).
Å andra sidan är siffror som inte avrundas efter att de har kvadrerats "ofullkomliga rutor". Vanligtvis, efter kvadrering är resultatet ett bråk- eller decimaltal. Ibland ser även siffrorna väldigt komplicerade ut, som (13) = 3, 605551275464…
Steg 4. Memorera kvadraten med siffrorna 1-12
Som du redan vet är det väldigt enkelt att kvadrera ett perfekt kvadratnummer. Att memorera kvadraterna med siffrorna 1-12 kan vara mycket användbart eftersom dessa siffror kommer att visas mycket i problemet. Således kommer du att spara tid medan du arbetar med frågorna. De första 12 kvadrerade talen är::
-
12 = 1 × 1 =
Steg 1.
-
22 = 2 × 2 =
Steg 4.
-
32 = 3 × 3 =
Steg 9.
-
42 = 4 × 4 =
Steg 16.
-
52 = 5 × 5 =
Steg 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Steg 5. Förenkla kvadratroten genom att ta bort de perfekta rutorna
Att hitta kvadratroten på ett ofullkomligt kvadratnummer kan vara svårt, särskilt om du inte använder en räknare. Antalet som ska kvadreras kan dock förenklas för att göra det lättare att beräkna. För att göra detta, separera helt enkelt talet inuti radikalen i flera faktorer, ta sedan bort kvadratroten för de perfekta kvadratnumren och skriv svaret utanför radikalen. Denna metod är ganska enkel att göra - för att ge dig en bättre förståelse, här är mer förklaring:
- Låt oss säga att vi vill beräkna kvadratroten på 900. Så, helt enkelt dela 900 i dess faktorer. "Faktorer" är tal som kan multipliceras tillsammans för att producera ett annat tal. Till exempel kan talet 6 erhållas genom att multiplicera och 1 × 6 och 2 × 3, så faktorerna 6 är 1, 2, 3 och 6.
- Med den principen i åtanke, låt oss bryta ner 900 i dess faktorer. Till att börja med skriver vi 900 som 9 × 100. Eftersom 9 är en perfekt kvadrat kan vi ta kvadratroten på 100 separat. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Med andra ord, (900) = 3√(100).
-
Vi kan förenkla det ytterligare genom att dela in 100 i dess faktorer, nämligen 25 och 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Därför kan beräknas (900) = 3 (10) =
Steg 30..
Steg 6. Använd ett tänkt tal för kvadratroten av ett negativt tal
Tänk, vilket tal om resultatet är -16 i kvadrat? Svaret, nej. Alla siffror i kvadrat är resultatet alltid positivt, eftersom det är negativt (-), när det multipliceras med negativt är resultatet positivt (+). Så för att kvadrera ett negativt tal måste vi ersätta det negativa talet med ett imaginärt tal (vanligtvis i form av bokstäver eller symboler). Till exempel används variabeln "i" i allmänhet för kvadratroten -1. Ett tänkt tal är alltid i kvadratroten av ett negativt tal.
Det bör noteras att även om imaginära tal aldrig representeras av tal, kan de fortfarande behandlas som nummer på olika sätt. Till exempel kan kvadratroten i ett negativt tal kvadreras för att ta bort kvadratroten. Till exempel, jag2 = - 1
Del 2 av 3: Använd Long Division Style Algoritm
Steg 1. Lös kvadratrotproblem som problem med lång uppdelning
Även om tidskrävande, svåra kvadratrotproblem kan lösas utan en miniräknare. För att göra detta kommer vi att använda en metod (eller algoritm) som liknar long stack division.
- Börja med att skriva kvadratrotsproblemet som du skulle göra med ett långt uppdelningsproblem. Som ett exempelproblem, hitta roten till 6, 45, vilket inte är ett helt tal. Först skriver vi den radikala symbolen (√), sedan nedanför skriver vi talet vi vill ta kvadraten av. Dra sedan en linje över siffrorna, precis som lång stapling. Nu ser "√" -symbolen ut som om den har en svans med siffran 6,45 längst ner.
- Vi kommer att skriva siffrorna ovanför problemet, så se till att du lämnar lite tomt utrymme.
Steg 2. Gruppera siffrorna i numret i par
Gruppera först siffrorna i talet under radikalen i par, med början på decimalpunkten. Gör någon slags markör (punkt, komma, linje, etc.) mellan par för enkel spårning.
I exempelproblemet kommer 6, 45 att delas in i 6-, 45-00. Kom ihåg att det finns "återstående" siffror till vänster - detta är inte ett problem.
Steg 3. Hitta det största talet vars fyrkantiga värde är mindre än eller lika med den första gruppen
Börja med det första numret i gruppen till vänster. Välj det största antalet vars kvadratiska värde är mindre eller lika i gruppen. Till exempel, om gruppen är 37, välj sedan 6 eftersom 62 = 36 <37 men 72 = 49> 37. Skriv det här numret ovanför den första gruppen. Detta nummer är den första siffran i ditt svar.
-
I exempelproblemet är den första gruppen 6-, 45-00 6. Det största antalet som är mindre än eller lika med 6 när kvadrat är
Steg 2. - 22 = 4. Skriv siffran "2" ovanför 6 och svansen är en radikal.
Steg 4. Multiplicera numret du just skrev ner, sänk sedan det och subtrahera sedan
Ta den första siffran i ditt svar (skrivet ovanför radikalen) och multiplicera det. Skriv svaret under den första gruppen och subtrahera för att hitta skillnaden. Släpp nästa grupp till höger om skillnaden du just beräknade. Slutligen skriver du den sista siffran för att multiplicera den första siffran i ditt svar till vänster och lämnar ett tomt utrymme till höger.
I exempelproblemet är antalet som fördubblas 2 (den första siffran i föregående svar). 2 × 2 = 4. Därefter subtraheras 4 med 6 (från den första gruppen). 6 - 4 resultatet är 2. Därefter tar du ner nästa grupp (45) och vi får 245. Slutligen skriver du siffran 4 igen till vänster och lämnar lite utrymme till höger, så här: 4_
Steg 5. Fyll i det tomma utrymmet
Lägg till siffrorna till höger om numret du skrev till vänster. Välj den siffra som ger det största värdet multiplicerat med detta nya tal, men som fortfarande är mindre än eller lika med det "härledda talet". Till exempel, om det”härledda numret” är 1700 och talet till vänster är 40_, är det nummer som ska anges”4” eftersom 404 × 4 = 1616 <1700, medan 405 × 5 = 2025. Antalet som finns i detta steg är den andra siffran i ditt svar, så skriv det ovanför den radikala symbolen.
-
I exempelproblemet letar vi efter talet bredvid 4_ × _ vars svar är det största talet men är mindre än eller lika med 245. Svaret är
Steg 5.. 45 × 5 = 225, medan 46 × 6 = 276.
Steg 6. Fortsätt att använda "blanksteg" -numren för att hitta ditt svar
Fortsätt det långa staplingsdelningsmönstret tills skillnaden mellan subtraktionerna för de härledda talen är noll eller ett ganska exakt antal har erhållits. När du är klar utgör siffrorna du använde för att fylla i ämnena i varje steg (plus det allra första numret du använde) varje siffra i ditt svar.
-
I exempelproblemet, subtrahera 245 med 220 för att få 20. Därefter sänker vi nästa grupp av siffror, 00 och får 2000. Multiplicera talet ovanför den radikala symbolen, så får vi 25 × 2 = 50. För att fylla i ämnena vid 50_ × _ =/<2 000 får vi numret
Steg 3.. Nu har vi "253" ovanför den radikala symbolen - upprepa denna process igen och få 9 i nästa siffra.
Steg 7. Ta bort decimaltecknet från ursprunget
För att få det slutliga svaret, sätt decimalen i rätt position. Det är enkelt - sätt bara decimalen i linje med decimalpunkten under den radikala symbolen. Till exempel är talet under radikalen 49, 8, så sätt en decimal mellan siffrorna över 8 och 9.
I exempelproblemet, om talet under radikalen är 6, 45, kommer decimalpunkten att vara i linje mellan siffrorna 2 och 5. Detta betyder att det slutliga svaret är 2, 539.
Del 3 av 3: Uppskatta snabbt imperfekta rutor
Steg 1. Hitta den ofullkomliga rutan med approximation
När du väl har memorerat perfekta rutor blir det mycket lättare att hitta ofullkomliga rutor. Tricket är att hitta ett perfekt torg före och efter det nummer du letar efter. Bestäm sedan vilken av de två perfekta rutorna som är närmast det nummer du letar efter.
Till exempel vill vi hitta kvadratroten på 40. Det perfekta kvadratnumret före och efter 40 är 62 och 72, vilket är 36 och 49. Eftersom 40 är större än 36 och mindre än 49 måste kvadratroten på 40 vara mellan 6 och 7. Talet 40 är närmare 36 än 49, så kvadratroten på 40 är närmare 6 Här är några steg för att hitta ett korrekt svar.
Steg 2. Uppskatta kvadratroten till en siffra efter kommatecken
När du har bestämt två perfekta kvadratnummer före och efter det tal du letar efter, är resten processen att hitta det tal bakom kommatecknet som ligger närmast svaret. Börja med det uppskattade ensiffriga talet efter kommatecken. Denna process kommer att upprepas tills du får ett svar med den noggrannhet du vill ha.
I exempelproblemet är den rimliga approximationen av kvadratroten 40 6, 4, eftersom svaret sannolikt ligger närmare 6 än 7.
Steg 3. Multiplicera ditt uppskattade antal med själva numret
Med andra ord, kvadrera ditt ungefärliga antal. Om du har tur blir resultatet numret i problemet. Om inte, fortsätt att lägga till eller subtrahera siffrorna efter komma tills du hittar rutan närmast siffran i problemet.
- Multiplicera 6, 4 med 6, 4 för att få 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, som är något över 40.
- Eftersom det första experimentet var överflödigt, subtrahera din approximation med en decimal, vilket är 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Detta resultat ligger något under siffran i problemet. Det betyder att kvadratroten på 40 är mellan 6, 3 och 6, 4. Sedan, då 39.69 är närmare 40, är kvadratroten på 40 också närmare 6, 3.
Steg 4. Vidarebefordra prognoser efter behov
Använd ditt svar om du tycker att det är tillräckligt korrekt. Men om inte, fortsätt bara det ungefärliga mönstret ovan tills du hittar ett svar med tre eller fyra siffror efter komma - i alla fall tills du når den noggrannhet du vill ha.
