En vektor är en fysisk mängd som har både storlek och riktning (t.ex. hastighet, acceleration och förskjutning), i motsats till en skalär som endast består av storlek (t.ex. hastighet, avstånd eller energi). Om skalare kan läggas till genom att lägga till storheter (t.ex. 5 kJ -arbete plus 6 kJ -arbete är lika med 11 kJ -arbete) är vektorer lite knepiga att lägga till eller subtrahera. Se steg 1 nedan för att lära dig några sätt att lägga till eller subtrahera vektorer.
Steg
Metod 1 av 3: Lägga till och subtrahera vektorer vars komponenter är kända
Steg 1. Skriv ner dimensionens komponenter i vektorn i vektornotation
Eftersom vektorer har storlek och riktning kan de vanligtvis delas upp i delar baserat på dimensioner x, y och/eller z. Dessa dimensioner skrivs vanligtvis i en liknande notation för att beskriva en punkt i ett koordinatsystem (t.ex. och andra). Om du känner till den här delen är det väldigt enkelt att lägga till eller subtrahera vektorer, bara lägga till eller subtrahera deras x-, y- och z -koordinater.
- Lägg märke till om dimensionerna för vektorn är 1, 2 eller 3. Således kan vektorn ha komponenterna x, x och y, eller x, y och z. I vårt följande exempel används en tredimensionell vektor, men processen är som en 1- eller 2-dimensionell vektor.
- Antag att vi har två tredimensionella vektorer, vektor A och vektor B. Vi kan skriva dessa vektorer med hjälp av vektornotation som A = och B =, där a1 och a2 är x-komponenter, b1 och b2 är y-komponenter, och c1 och c2 är komponenter z.
Steg 2. Lägg till de två vektorerna genom att lägga till deras komponenter
Om de två komponenterna i en vektor är kända kan du lägga till vektorerna genom att lägga till komponenterna i varje. Med andra ord, lägg till x-komponenten i den första vektorn till x-komponenten i den andra vektorn och gör samma sak för y och z. Svaret du får från att lägga till x-, y- och z -komponenterna i dessa vektorer är x-, y- och z -komponenterna i din nya vektor.
- I generella termer, A+B =.
- Låt oss lägga till två vektorer A och B. A = och B =. A + B =, eller.
Steg 3. För att subtrahera båda vektorerna, subtrahera deras komponenter
Som vi diskuterar senare kan subtrahering av en vektor från en annan ses som att lägga till dess ömsesidiga vektorer. Om komponenterna i båda vektorerna är kända är det möjligt att subtrahera en vektor från en annan genom att subtrahera den första komponenten från den andra komponenten (eller genom att lägga till de negativa komponenterna i båda).
- I generella termer, A-B =
- Låt oss subtrahera två vektorer A och B. A = och B =. A - B = eller.
Metod 2 av 3: Lägga till och subtrahera med bilder med huvud- och svansmetoden
Steg 1. Symbolisera vektorn genom att rita den med huvudet och svansen
Eftersom vektorer har både storlek och riktning kan vi säga att de har en svans och ett huvud. Med andra ord har en vektor en startpunkt och en slutpunkt som anger riktningen för vektorn vars avstånd från startpunkten är lika med vektorn. När den ritas, tar vektorn formen av en pil. Spetsen av pilen är huvudet på vektorn och slutet av vektorlinjen är svansen.
Om du skapar en vektorritning med dimensioner måste du mäta och rita alla hörn exakt. Bildens felvinkel påverkar det resulterande resultatet när två vektorer läggs till eller subtraheras med denna metod
Steg 2. För att lägga till, rita eller flytta den andra vektorn så att svansen möter huvudet på den första vektorn
Detta kallas att kombinera huvud till svans vektorer. Om du bara lägger till två vektorer är det här du behöver göra innan du hittar den resulterande vektorn.
Observera att den ordning som du lägger till vektorer inte spelar någon roll, förutsatt att du använder samma utgångspunkt. Vektor A + Vektor B = Vektor B + Veltor A
Steg 3. Lägg till ett negativt tecken i vektorn för att subtrahera
Att minska vektorer med bilder är mycket enkelt. Vänd vektorriktningen, men håll storleken densamma och lägg ihop ditt vektorhuvud och svans som vanligt. Med andra ord, för att subtrahera en vektor, rotera vektorn 180o och lägg till.
Steg 4. Om du lägger till eller subtraherar mer än två vektorer, kombinera alla vektorer i en topp-till-svans-ordning
Ordningen för sammanslagning spelar ingen roll. Denna metod kan användas oavsett antalet vektorer.
Steg 5. Rita en ny vektor från svansen på den första vektorn till huvudet på den sista vektorn
Oavsett om du lägger till/subtraherar två vektorer eller hundra, är vektorn som sträcker sig från din första startpunkt (svansen på den första vektorn) till slutpunkten för din sista vektor (huvudet på din sista vektor) den resulterande vektorn eller summan av alla dina vektorer. Observera att denna vektor är exakt densamma som vektorn erhållen genom att lägga till alla x-, y- och/eller z -komponenterna.
- Om du ritar alla dina vektorer i storlek kan du bestämma storleken på den resulterande vektorn genom att mäta längden genom att mäta alla vinklar korrekt. Du kan också mäta vinkeln mellan den resulterande och en vektor horisontellt eller vertikalt för att bestämma dess riktning.
- Om du inte ritar alla dina vektorer i storlek kan du behöva beräkna storleken på den resulterande med hjälp av trigonometri. Kanske reglerna Sine och Cosinus hjälper. Om du lägger till mer än två vektorer är det bra att lägga till den första vektorn med den andra, sedan lägga till den resulterande av den andra till den tredje, och så vidare. Se följande avsnitt för mer information.
Steg 6. Rita din resulterande vektor med dess storlek och riktning
En vektor definieras av dess längd och riktning. Som ovan, förutsatt att du ritade din vektor exakt, är din nya vektors storlek dess längd och dess riktning är vinkeln i förhållande till den vertikala eller horisontella riktningen. Använd enhetsvektorerna som du lägger till eller subtraherar för att bestämma enheterna för storleken på din resulterande vektor.
Till exempel, om de tillagda vektorerna representerar hastighet i ms-1, då kan den resulterande vektorn definieras som "hastighet x ms-1 mot y o till horisontell riktning.
Metod 3 av 3: Lägga till och subtrahera vektorer genom att ange vektordimensionella komponenter
Steg 1. Använd trigonometri för att bestämma komponenterna i en vektor
För att hitta komponenterna i en vektor behöver du vanligtvis känna till dess storlek och riktning i förhållande till horisontell eller vertikal riktning och förstå trigonometri. Antag en tvådimensionell vektor, tänk först på din vektor som hypotenusen i en högra triangel vars två sidor är parallella med x- och y-riktningarna. Dessa två sidor kan ses som komponenter i en huvud-till-svans-vektor som adderar till din vektor.
- Längderna på båda sidor är lika med x- och y -komponenterna i din vektor och kan beräknas med hjälp av trigonometri. Om x är en vektorstorlek är sidan intill vektorvinkeln (i förhållande till horisontell, vertikal och andra riktningar) xcos (θ), medan motsatt sida är xsin (θ).
- Det är också mycket viktigt att notera riktningen för dina komponenter. Om komponenten pekar på en negativ koordinat ges den ett negativt tecken. Till exempel, i ett tvådimensionellt plan, om en komponent pekar åt vänster eller nedåt, är den negativ.
- Låt oss till exempel säga att vi har en vektor med magnitud 3 och riktning 135o i förhållande till horisontalen. Med denna information kan vi bestämma att x -komponenten är 3cos (135) = - 2, 12 och y -komponenten är 3sin (135) = 2, 12
Steg 2. Lägg till eller subtrahera två eller flera relaterade vektorer
När du har hittat komponenterna i alla dina vektorer lägger du till dem för att hitta komponenterna i din resulterande vektor. Lägg först ihop alla storlekarna på de horisontella komponenterna (som är parallella med x-riktningen). Separat, lägg ihop alla storleken på de vertikala komponenterna (som är parallella med y-riktningen). Om en komponent är negativ (-), subtraheras dess storlek, inte adderas. Svaret du får är komponenten i din resulterande vektor.
Till exempel läggs vektorn från föregående steg, till vektorn. I detta fall blir den resulterande vektorn eller
Steg 3. Beräkna storleken på den resulterande vektorn med hjälp av Pythagoras sats
Pythagoras sats c2= a2+b2, används för att hitta längden på sidan av en rätt triangel. Eftersom triangeln som bildas av vår resulterande vektor och dess komponenter är en rätt triangel, kan vi använda den för att hitta vektorn längd och storlek. Med c som storleken på den resulterande vektorn, som du letar efter, antar att a är storleken på x -komponenten och b är storleken på y -komponenten. Lös med algebra.
-
För att hitta storleken på vektorn vars komponenter vi har letat efter i föregående steg, använd Pythagoras sats. Lös på följande sätt:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Steg 4. Beräkna den resulterande riktningen med tangentfunktionen
Slutligen, hitta den resulterande vektorn för riktningen. Använd formeln = tan-1(b/a), var är storleken på vinkeln som bildas i x eller horisontell riktning, b är storleken på y -komponenten och a är storleken på x -komponenten.
-
För att hitta riktningen för vår vektor, använd = tan-1(b/a).
- = solbränna-1(-6, 88/3, 66)
- = solbränna-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Steg 5. Rita din resulterande vektor enligt dess storlek och riktning
Som skrivits ovan definieras vektorerna av deras storlek och riktning. Se till att använda lämpliga enheter för din vektorstorlek.
Till exempel, om vårt vektorexempel representerar en kraft (i Newton), kan vi skriva den "tvinga 7,79 N med -61,99 o till horisontellt ".
Tips
- Vektorn skiljer sig från stor.
- Vektorer med samma riktning kan adderas eller subtraheras genom att lägga till eller subtrahera deras storlek. Om du summera två vektorer som är motsatta, deras storlek subtraheras, inte adderad.
- Vektorer representerade i formen x i + y j + z k kan adderas eller subtraheras genom att addera eller subtrahera koefficienterna för de tre enhetsvektorerna. Svaret är också i form av i, j och k.
- Du kan hitta storleken på en tredimensionell vektor med formeln a2= b2+c2+d2 där a är vektorens storlek, och b, c och d är komponenterna i varje riktning.
- Kolumnvektorer kan läggas till och subtraheras genom att lägga till eller subtrahera värdena för varje rad.
