En rationell ekvation är en bråkdel med en eller flera variabler i täljaren eller nämnaren. En rationell ekvation är varje bråkdel som innefattar minst en rationell ekvation. Liksom vanliga algebraiska ekvationer löses rationella ekvationer genom att utföra samma operation på båda sidor av ekvationen tills variablerna kan överföras till vardera sidan av ekvationen. Två speciella tekniker, korsmultiplikation och att hitta den minst gemensamma nämnaren, är mycket användbara sätt att flytta variabler och lösa rationella ekvationer.
Steg
Metod 1 av 2: Korsmultiplikation
Steg 1. Om det behövs, ordna om ekvationen för att få en bråkdel på ena sidan av ekvationen
Korsmultiplikation är ett snabbt och enkelt sätt att lösa rationella ekvationer. Tyvärr kan denna metod endast användas för rationella ekvationer som innehåller minst en rationell ekvation eller fraktion på varje sida av ekvationen. Om din ekvation inte uppfyller dessa tvärproduktkrav kan du behöva använda algebraiska operationer för att flytta delarna till rätt platser.
-
Till exempel kan ekvationen (x + 3)/4-x/(-2) = 0 enkelt sättas i tvärproduktform genom att lägga till x/(-2) på båda sidor av ekvationen, så att den blir (x + 3)/4 = x/(-2).
Observera att decimaltal och heltal kan omvandlas till bråk genom att ge nämnaren 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, till exempel, kan skrivas om som (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, vilket gör det tillfredsställande korsmultiplikationsvillkor
- Vissa rationella ekvationer kan inte lätt reduceras till en form som har en bråkdel eller rationell ekvation på varje sida. I sådana fall använder du samma metod som minst nämnare.
Steg 2. Kors multiplicera
Korsmultiplikation innebär att multiplicera en av täljare av en bråkdel med nämnaren för en annan bråkdel och vice versa. Multiplicera täljaren för fraktionen till vänster med nämnaren för fraktionen till höger. Upprepa med den högra nämnaren med den vänstra nämnaren.
Korsmultiplikation fungerar enligt grundläggande algebraiska principer. Rationella ekvationer och andra fraktioner kan göras till icke-fraktioner genom att multiplicera dem med nämnaren. Korsprodukt är i grunden ett snabbt sätt att multiplicera båda sidor av en ekvation med båda nämnare. Tro inte? Prova - du får samma resultat efter att du har förenklat det
Steg 3. Gör de två produkterna lika med varandra
Efter korsmultiplikation får du två multiplikationsresultat. Gör dem lika med varandra och förenkla för att göra ekvationen så enkel som möjligt.
Till exempel, om din ursprungliga rationella ekvation var (x+3)/4 = x/(-2), efter korsmultiplikation, blir din nya ekvation -2 (x+3) = 4x. Om du vill kan du också skriva det som -2x - 6 = 4x
Steg 4. Hitta värdet på din variabel
Använd algebraiska operationer för att hitta värdet på din ekvations variabel. Kom ihåg att om x visas på båda sidor av ekvationen måste du lägga till eller subtrahera x från båda sidorna av ekvationen för att lämna x på endast ena sidan av ekvationen.
I vårt exempel kan vi dela båda sidorna av ekvationen med -2, så x+3 = -2x. Att subtrahera x från båda sidor ger 3 = -3x. Slutligen, genom att dela båda sidorna med -3, blir resultatet -1 = x, vilket kan skrivas som x = -1. Vi har hittat värdet av x och löst vår rationella ekvation
Metod 2 av 2: Hitta den minst gemensamma nämnaren
Steg 1. Vet den exakta tiden för att använda samma minsta nämnare
Samma minsta nämnare kan användas för att förenkla rationella ekvationer, vilket gör dem sökbara efter variabla värden. Att hitta den minst gemensamma nämnaren är en bra idé om din rationella ekvation inte lätt kan skrivas i termer av en bråkdel (och bara en bråkdel) på varje sida av ekvationen. För att lösa rationella ekvationer med tre eller flera delar är den minst gemensamma nämnaren till hjälp. För att lösa en rationell ekvation med endast två delar är det dock snabbare att använda en tvärprodukt.
Steg 2. Kontrollera nämnaren för varje fraktion
Identifiera det minsta tal som varje nämnare kan dela och producera ett helt tal. Detta nummer är den minst gemensamma nämnaren för din ekvation.
- Ibland är den minsta gemensamma nämnaren - det vill säga det minsta antalet som har alla faktorer i nämnaren - tydligt synlig. Till exempel, om din ekvation är x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, är det inte svårt att se det minsta talet som har en faktor 3, 2 och 6, vilket är talet 6.
- Men ofta är den minst gemensamma nämnaren för en rationell ekvation inte klart synlig. I ett fall som detta, försök att kontrollera multiplar av den större nämnaren tills du hittar ett tal som har en faktor för alla andra mindre nämnare. Ofta är den minst gemensamma nämnaren produkten av två nämnare. Till exempel, i ekvationen x/8 + 2/6 = (x-3)/9, är den minst gemensamma nämnaren 8*9 = 72.
- Om en eller flera av din fraktions nämnare har variabler är denna process svårare, men möjlig att göra. I ett fall som detta är den minst gemensamma nämnaren en ekvation (med en variabel) som är delbar med alla andra nämnare. Till exempel i ekvationen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) är den minst gemensamma nämnaren 3x (x-1) eftersom någon nämnare kan dela den-dividera med (x-1) ger 3x, dividera med 3x ger (x-1), och dividera med x ger 3 (x-1).
Steg 3. Multiplicera varje fraktion i den rationella ekvationen med 1
Att multiplicera varje del med 1 verkar värdelöst. Men här är tricket. 1 kan definieras som valfritt tal som är samma i både täljaren och nämnaren, till exempel -2/2 och 3/3, vilket är rätt sätt att skriva 1. Denna metod utnyttjar den alternativa definitionen. Multiplicera varje fraktion i din rationella ekvation med 1, skriv ner siffran 1 som, när den multipliceras med nämnaren, ger den minsta gemensamma nämnaren.
- I vårt grundläggande exempel multiplicerar vi x/3 med 2/2 för att få 2x/6 och multiplicera 1/2 med 3/3 för att få 3/6. 2x + 1/6 har redan samma minsta nämnare, vilket är 6, så vi kan multiplicera det med 1/1 eller lämna det ifred.
- I vårt exempel med en variabel i nämnaren för fraktionen är processen lite mer komplicerad. Eftersom vår minsta nämnare är 3x (x-1) multiplicerar vi varje rationell ekvation med något som returnerar 3x (x-1). Vi multiplicerar 5/(x-1) med (3x)/(3x) vilket ger 5 (3x)/(3x) (x-1), multiplicerar 1/x med 3 (x-1)/3 (x- 1) som ger 3 (x-1)/3x (x-1) och multiplicerar 2/(3x) med (x-1)/(x-1) ger 2 (x-1)/3x (x- 1).
Steg 4. Förenkla och hitta värdet på x
Eftersom varje del av din rationella ekvation nu har samma nämnare kan du ta bort nämnaren från din ekvation och lösa täljaren. Multiplicera båda sidorna av ekvationen för att få täljarens värde. Använd sedan algebraiska operationer för att hitta värdet på x (eller vilken variabel du vill lösa) på ena sidan av ekvationen.
- I vårt grundläggande exempel får vi 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6 efter att ha multiplicerat alla delar med alternativform 1. Två fraktioner kan läggas till om de har samma nämnare, så vi kan förenkla denna ekvation till (2x+3)/6 = (3x+1)/6 utan att ändra värdet. Multiplicera båda sidor med 6 för att ta bort nämnaren, så resultatet är 2x+3 = 3x+1. Subtrahera 1 från båda sidor för att få 2x+2 = 3x och subtrahera 2x från båda sidor för att få 2 = x, vilket kan skrivas som x = 2.
- I vårt exempel med en variabel i nämnaren blir vår ekvation efter multiplicering med 1 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Multiplicera alla delar med samma minsta nämnare, så att vi kan utelämna nämnaren, blir 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Detta gäller även 5x = 3x -3 + 2x -2, vilket förenklar till 15x = x -5. Att dra från x från båda sidor ger 14x = -5, vilket i slutändan förenklar till x = -5/14.
Tips
- När du har löst variabeln, kontrollera ditt svar genom att ansluta variabelns värde till den ursprungliga ekvationen. Om ditt variabelvärde är korrekt kan du förenkla din ursprungliga ekvation till ett enkelt uttalande som alltid är 1 = 1.
- Observera att du kan skriva valfritt polynom som en rationell ekvation; sätt den ovan nämnaren 1. Så x+3 och (x+3)/1 har samma värde, men den andra ekvationen kan klassificeras som en rationell ekvation eftersom den är skriven som en bråkdel.
